n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다

n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다

$M$을 미분 다양체, $T_{p}M$을 점 $p\in M$ 위의 탄젠트 공간이라고 하자.

정리11

$T_{p}M$은 $\mathbb{R}-$벡터공간이다.

증명

벡터공간이 되기 위한 조건은 다음과 같이 열가지가 있는데, 이 중에서 몇 개만 해보자.

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$와 $k, l \in \mathbb{F}$에 대해서,

(A1) $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $V$의 원소이면 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$도 $V$의 원소이다.

(A2) $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

(A3) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

(A4) $V$내의 모든 $\mathbf{u}$에 대해서, $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}$를 만족하는 $\mathbf{0}$이 $V$내에 존재한다.

(A5) $V$내의 모든 $\mathbf{u}$에 대해서 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0}$ 를 만족하는 $\mathbf{v}$가 $V$내에 존재한다.

(M1) $\mathbf{u}$가 $V$의 원소이면 $k \mathbf{u}$도 $V$의 원소이다.

(M2) $k(\mathbf{u} + \mathbf{v})=k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$

(M3) $(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+ l\mathbf{u}$

(M4) $k(l\mathbf{u})=(kl)(\mathbf{u})$

(M5) $1\in \mathbb{F}$에 대해서, $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

$\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M$이라고 하자. $p$에서 미분가능한 함수들의 집합을 $\mathcal{D}$라고 하자.

$$ \mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\} $$

벡터공간이 되려면 원소간의 합과 상수곱이 정의되어야 한다. 합과 상수곱을 다음과 같이 정의하자.

$$ (\mathbf{X} + \mathbf{Y}) (f) := \mathbf{X}f + \mathbf{Y}f \\ (r \cdot \mathbf{X}) (f) := r \cdot \mathbf{X}f,\quad r \in \mathbb{R} $$

(A1) $\mathbf{X}$와 $\mathbf{Y}$가 각각 $\mathcal{D} \to \mathbb{R}$인 함수이므로 $\mathbf{X}f, \mathbf{Y}f \in \mathbb{R}$이다. 두 실수의 합은 실수이므로 $\mathbf{X} + \mathbf{Y} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$이다. 따라서 $\mathbf{X} + \mathbf{Y} \in T_{p}M$이다.

(M1) $\mathbf{X}f \in \mathbb{R}$이고 $r \in \mathbb{R}$이므로, $r \cdot \mathbf{X} f \in \mathbb{R}$이다. 따라서 $r\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$이고, $r\mathbf{X} \in T_{p}M$이다.

(A4) $\mathbf{0} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$을 $\mathbf{0} f = 0 (\forall f \in \mathcal{D})$과 같이 정의하자. 그러면

$$ (\mathbf{X} + \mathbf{0})(f) = \mathbf{X}f + \mathbf{0}f = \mathbf{X}f $$

(A5) $-\mathbf{X}$를 $(-\mathbf{X})(f) := (-1) \cdot \mathbf{X}f$와 같이 정의하면, (M1)에 의해서 $(-1)\mathbf{X} \in T_{p}M$이고, $\mathbf{X} + (-\mathbf{X}) = \mathbf{0}$가 성립한다.


정리2

$T_{p}M$은 $n$차원 벡터공간이다. 특히 $\mathbf{x} : U \to M$을 점 $p \in M$에 대한 좌표계라고 하자. 그러면 집합

$$ \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\} $$

은 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 기저이다. 이때 $\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$은 다음과 같이 정의된다.

$$ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} f := \left. \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p},\quad f \in \mathcal{D} $$

$(u_{1}, \dots, u_{n})$는 $\mathbb{R}$의 좌표이다.

증명

기저의 정의에 의해 $\mathcal{B}$가 선형 독립이고, $T_{p}M$을 생성함을 보이면 된다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p214 ↩︎

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