n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다

n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다

A Tangent Space to Differential Manifold is an n-Dimensional Vector Space

$M$을 $n$차원 미분 다양체, $T_{p}M$을 점 $p\in M$ 위의 탄젠트 공간이라고 하자.

정리11

$T_{p}M$은 $\mathbb{R}-$벡터공간이다.

증명

벡터공간이 되기 위한 조건은 다음과 같이 열가지가 있는데, 이 중에서 몇 개만 해보자.

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$와 $k, l \in \mathbb{F}$에 대해서,

(A1) $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $V$의 원소이면 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$도 $V$의 원소이다.

(A2) $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

(A3) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

(A4) $V$내의 모든 $\mathbf{u}$에 대해서, $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}$를 만족하는 $\mathbf{0}$이 $V$내에 존재한다.

(A5) $V$내의 모든 $\mathbf{u}$에 대해서 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0}$ 를 만족하는 $\mathbf{v}$가 $V$내에 존재한다.

(M1) $\mathbf{u}$가 $V$의 원소이면 $k \mathbf{u}$도 $V$의 원소이다.

(M2) $k(\mathbf{u} + \mathbf{v})=k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$

(M3) $(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+ l\mathbf{u}$

(M4) $k(l\mathbf{u})=(kl)(\mathbf{u})$

(M5) $1\in \mathbb{F}$에 대해서, $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

$\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M$이라고 하자. $p$에서 미분가능한 함수들의 집합을 $\mathcal{D}$라고 하자.

$$ \mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\} $$

벡터공간이 되려면 원소간의 합과 상수곱이 정의되어야 한다. 합과 상수곱을 다음과 같이 정의하자.

$$ (\mathbf{X} + \mathbf{Y}) (f) := \mathbf{X}f + \mathbf{Y}f \\ (r \cdot \mathbf{X}) (f) := r \cdot \mathbf{X}f,\quad r \in \mathbb{R} $$

(A1) $\mathbf{X}$와 $\mathbf{Y}$가 각각 $\mathcal{D} \to \mathbb{R}$인 함수이므로 $\mathbf{X}f, \mathbf{Y}f \in \mathbb{R}$이다. 두 실수의 합은 실수이므로 $\mathbf{X} + \mathbf{Y} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$이다. 따라서 $\mathbf{X} + \mathbf{Y} \in T_{p}M$이다.

(M1) $\mathbf{X}f \in \mathbb{R}$이고 $r \in \mathbb{R}$이므로, $r \cdot \mathbf{X} f \in \mathbb{R}$이다. 따라서 $r\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$이고, $r\mathbf{X} \in T_{p}M$이다.

(A4) $\mathbf{0} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$을 $\mathbf{0} f = 0 (\forall f \in \mathcal{D})$과 같이 정의하자. 그러면

$$ (\mathbf{X} + \mathbf{0})(f) = \mathbf{X}f + \mathbf{0}f = \mathbf{X}f $$

(A5) $-\mathbf{X}$를 $(-\mathbf{X})(f) := (-1) \cdot \mathbf{X}f$와 같이 정의하면, (M1)에 의해서 $(-1)\mathbf{X} \in T_{p}M$이고, $\mathbf{X} + (-\mathbf{X}) = \mathbf{0}$가 성립한다.


정리2

$T_{p}M$은 $n$차원 벡터공간이다. 특히 $\mathbf{x} : U \to M$을 점 $p \in M$에 대한 좌표계라고 하자. 그러면 집합

$$ \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\} $$

은 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 기저이다. 이때 $\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$은 다음과 같이 정의된다.

$$ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} f := \left. \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p},\quad f \in \mathcal{D} $$

$(u_{1}, \dots, u_{n})$는 $\mathbb{R}$의 좌표이다.

증명

기저의 정의에 의해 $\mathcal{B}$가 선형 독립이고, $T_{p}M$을 생성함을 보이면 된다.

  • Part 1. 선형 독립

    좌표계 $\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$에 대해서 좌표함수 $x_{i} : M \to \mathbb{R}$은 다음과 같다.

    $$ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = p \\ \mathbf{x}^{-1}(p) = (x_{1}(p), \dots, x_{n}(p)) = (u_{1}, \dots, u_{n}) $$

    이제 $f = x_{j}$라고 두면,

    $$ f \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j} \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j}(\mathbf{x}(\mathbf{u})) = x_{j}(p) = u_{j} $$

    따라서

    $$ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = \left. \dfrac{\partial (x_{j} \circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p} = \dfrac{\partial u_{j}}{\partial u_{i}} = \delta_{ij} $$

    이때 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다.

    이제 방정식 $c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} = \mathbf{0}$을 보자. 모든 $i$에 대해서 $c_{i} = 0$이면 선형독립이다. 임의의 $1 \le j \le n$인 $x_{j}$를 대입하면,

    $$ 0 = \mathbf{0}(x_{j}) = c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = c_{i}\delta_{ij} = c_{j} $$

    따라서 모든 $j$에 대해서 $c_{j} = 0$이고, 다른 해는 존재하지않음을 알 수 있다. 따라서 $\mathcal{B}$는 선형 독립이다.

  • Part 2. 생성

    $f \in \mathcal{D}$, $\mathbf{a} = \mathbf{x}^{-1} (p)$, $F = f \circ \mathbf{x}$라고 하자. 그러면 $F : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$이다.

    다변수 함수에 대한 테일러정리

    $$ F(\mathbf{x}) = F(\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial x_{i}}(\mathbf{a})(x_{i} - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i} - a_{i}) (x_{j} - a_{j}) $$

    위의 테일러 정리를 $F$에 적용하면 다음이 성립한다. $m \in M$에 대해서,

    $$ \begin{align*} f(m) =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(m) = F ( \mathbf{x}^{-1}(m)) \\ =&\ F (\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{a})(x_{i}(m) - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x}^{-1}(m))(x_{i}(m) - a_{i}) (x_{j}(m) - a_{j}) \\ =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(p) + \sum_{i} \frac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{x}^{-1}(p)) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \\ =&\ f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \end{align*} $$

    따라서 $f$는 다음과 같은 매핑이다.

    $$ f = f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right) $$

    이를 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}$에 대입하면,

    $$ \mathbf{X}(f) = \mathbf{X}(f(p)) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum \mathbf{X}\left[ (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right) \right] $$

    탄젠트 벡터는 미분 작용소로써 정의되기 때문에 상수함수 $c$에 대해서 $\mathbf{X}(c) = 0$이다. 따라서 위 식의 첫번째 항은 $0$이다.

    $$ \mathbf{X}_{p}(fg) = f(p)\mathbf{X}_{p}(g) + g(p)\mathbf{X}_{p}(f) $$

    따라서 만약 $f(p)=g(p)=0$이면,

    $$ \mathbf{X}_{p}(fg) $$

    또한 $f = (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)$, $g=\left(x_{j}-a_{j}\right)$로 놓고 위 보조정리를 적용하, $x_{i}(p) = a_{i}$이므로 세번째 항도 $0$이 됨을 알 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다.

    $$ \begin{aligned} \mathbf{X}(f) =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(\mathbf{X}(x_{i}) - \mathbf{X}(a_{i})\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}(x_{i}) \\ =&\ \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \end{aligned} $$

    $$ \implies \mathbf{X} = \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} $$

    따라서 임의의 $\mathbf{X}$가 $\mathcal{B}$의 선형결합으로 나타나므로, $T_{p}M$은 $\mathcal{B}$에 의해 생성된다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p214 ↩︎

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