미분기하에서 회전면

미분기하에서 회전면

정의1

$z$를 주어진 축의 변수, $r>0$을 $z-$축으로부터의 거리라고 하자. 그러면 다음의 왼쪽 그림과 같은 $rz-$평면의 곡선 $\alpha$를 생각할 수 있다.

1.PNG

위의 오른쪽 그림과 같이, 곡선 $\alpha$를 $z-$축에 대해서 회전하여 얻은 곡면회전면surface of revolution이라 한다. 회전면은 다음과 같이 표현된다.

$$ \mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos \theta, r(t)\sin \theta, z(t) \right) $$

회전면의 $t-$매개변수 곡선메리디안meridian, 자오선이라 하고, $\theta-$매개변수 곡선을 평행선circle of latitude, parallel이라 한다.

설명

회전체라고 해도 의사소통에 크게 문제는 되지 않겠지만, 속이 비어있기 때문에 엄밀히 말해서 회전체solid of revolution는 아니다.

모든 메리디안은 측지선이다. 이와는 달리 평행선이 측지선이 되기 위해서는 몇가지 조건이 필요하다.

정리

곡선 $\alpha(t) = \left( r(t), z(t) \right))$가 정칙 곡선이고 일대일이면, $\alpha$에 의해 만들어지는 회전면 $\mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos \theta, r(t)\sin \theta, z(t) \right)$는 단순 곡면이다. 이때 $\theta$의 조건은 $-\pi \lt \theta \lt \pi$이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p86-87 ↩︎

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