극좌표로 결정되는 직선

극좌표로 결정되는 직선

A Straight Line Determined by Polar Coordinates

설명

극좌표로 결정되는 직선

그림1.png

그림(1)과 같은 직선은 기울기 $a$와 $y$절편 $b$로 결정된다. 기울기와 절편만 있으면 평면 위의 모든 직선을 표현할 수 있을 것 같지만 그렇지 않다. 정확하게는 함수로 직선만 나타낼 수 있다. 따라서 그림(2)와 같이 $x$축에 수직인 직선은 기울기와 절편으로 나타낼 수 없다.

그림2.png

이제 그림(3)을 보자. 이 직선은 원점에서 $s$만큼 떨어져있으면서, 단위 벡터 $\boldsymbol{\theta} = (\cos \theta, \sin \theta)$와 수직인 직선이다. 따라서 우리는 극좌표 $(s, \theta)$에 의해서 평면 위의 직선이 하나 결정됨을 알 수 있다. 또한, 기울기와 절편을 쓰는 방법과 달리, 그림(4)와 같은 $x$축에 수직인 직선도 극좌표로 표현할 수 있다.

이러한 직선 표기법은 라돈 변환 등에서 선적분을 표현할 때 유용하다.

직선 위의 점

그림3.png

위 그림과 같이 파라매터 $t$를 추가하면 직선위의 한 점을 표현할 수 있다. $\boldsymbol{\theta}=(\cos \theta, \sin \theta)$, $\boldsymbol{\theta}^\perp=(-\sin \theta, \cos \theta)$라고 하면,

$$ \begin{align*} P =&\ s\boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^\perp \\ =&\ (s\cos\theta, s\sin\theta) + (-t \sin\theta, t \cos\theta) \\ =&\ (s\cos\theta-t \sin\theta, s\sin\theta+ t \cos\theta) \end{align*} $$

그러면 $s$와 $\theta$로 결정되는 직선 $l_{s, \theta}$는 다음의 집합과 같다.

$$ l_{s, \theta} = \left\{ s\boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^\perp : t \in \mathbb{R} \right\} $$

또한 $-s \big(\cos(\theta + \pi), \sin (\theta + \pi)\big) = s(\cos \theta, \sin \theta)$이므로, 음수인 $s$에 대해서 다음과 같이 정의한다.

$$ l_{-s, \theta+\pi} := l_{s, \theta} $$

일반화

$\mathbb{R}^{n}$에서 원점에서 $s$만큼 떨어져있고, 단위 벡터 $\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{n-1}$에 수직인 직선은 다음과 같다.

$$ l_{s, \boldsymbol{\theta}} = \left\{ s\boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^\perp : t \in \mathbb{R} \right\} $$

댓글