미분 동형 사상

미분 동형 사상

정의1

$M_{1}, M_{2}$를 미분 다양체 라고 하자. 매핑 $\varphi : M_{1} \to M_{2}$가 다음의 조건을 만족하면 미분동형사상diffeomorphism, 디피어모피즘이라 한다.

  1. $\varphi$가 미분가능하다.
  2. $\varphi$가 전단사 함수이다.
  3. $\varphi ^{-1}$가 미분가능하다.

만약 점 $p \in M_{1}$와 $\varphi(p)$의 근방인 $U$와 $V$에 대해서 축소사상 $\varphi|_{U} : U \to V$가 미분동형이면, $\varphi$를 국소미분동형사상local diffeomorphism이라 한다.

정리

$M_{1}^{n}, M_{2}^{n}$을 $n$차원 미분다양체라고 하자. $\phi : M_{1} \to M_{2}$를 미분가능한 함수, $p \in M_{1}$에 대해 $d\phi_{p} : T_{p}M_{1} \to T_{\phi(p)}M_{2}$가 동형사상이라고 하자. 그러면 $\phi$는 $p$에서 국소미분동형사상이다.

증명

역함수 정리 (a)에 의해 성립한다.


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p10 ↩︎

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