횔더 부등식의 역: Lp 함수일 충분조건

횔더 부등식의 역: Lp 함수일 충분조건

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 가측 함수 $u$가 $L^{p}$ 공간에 포함될 필요충분조건은

$$ \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty $$

이다. 또한 위의 슈프리멈은 $\left\| u \right\|_{p}$와 같다. 이때 $p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1}$는 횔더 켤레이다.

설명

$1 \lt p \lt \infty$이고 $v \in L^{p^{\prime}}$라고 하자. 그러면 횔더 부등식은 $u \in L^{p}$이면 $uv \in L^{1}$라는 것을 말해준다.

$$ u\in L^{p}(\Omega) \implies \int_{\Omega} \left| u(x) v(x) \right| dx \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}} $$

반대로 위 정리는 $uv \in L^{1}$이면 $u \in L^{p}$라는 것을 말해준다.

$$ u\in L^{p}(\Omega) \impliedby \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty $$

증명

$$ u \in L^{p}(\Omega) \iff \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty $$


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p25 ↩︎

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