우주의 엔트로피는 감소하지 않는다

우주의 엔트로피는 감소하지 않는다

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정리

우주의 엔트로피는 감소하지 않는다.

설명

위 명제를 보고 가장 먼저 알 수 있는 사실은 ‘뭔가 멋있다’는 점이다. 하지만 정말로 멋있는 건 이것을 수식적으로 이해한 사람이고, 그런 사람이 될 수 있도록 노력하자.

증명

이 우주는 유일하며, 따라서 이 우주의 ‘외부’같은 건 존재하지 않는다는 가정이 필요하다.

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위와 같이 $A \to B$ 는 비가역, $B \to A$ 는 가역인 순환과정을 생각해보자. 이 과정은 어쨌든 비과역과정을 포함하고 있으므로 전체적으로는 비가역과정이다.

클라우지우스 정리

순환 과정에서 다음이 성립한다.

$$ \oint {{\delta Q} \over {T}} \le 0 $$

클라우지우스 정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ \oint {{\delta Q} \over {T}} = \int_{A}^{B} { { \delta Q } \over { T }} + \int_{B}^{A} { {{ \delta Q_{\text{rev} } } \over { T }} } \le 0 $$

위끝과 아래끝을 정리하면 다음과 같다.

$$ \int_{A}^{B} { { \delta Q } \over { T }} \le \int_{A}^{B} { {{ \delta Q_{\text{rev} } } \over { T }} } $$

엔트로피의 정의

다음의 식을 만족하는 $S$를 엔트로피entropy라 정의한다.

$$ dS = {{ \delta Q_{\text{rev} } } \over { T }} $$

엔트로피의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$ \int_{A}^{B} { { \delta Q } \over { T }} \le d S $$

우주가 단 하나로 유일하고 그 너머엔 아무것도 없다면, 외부와 열에너지를 교환할 수 없을 것이다. 따라서 우주를 전체 계로 놓고 보았을 때 모든 과정은 단열과정이며, 수식적으로는 $\delta Q = 0$ 이어야한다. 정리하면 $dS \ge 0$ 이므로 우주의 엔트로피는 감소할 수 없다.

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