병렬회로의 합성저항 쉽게 구하기

병렬회로의 합성저항 쉽게 구하기

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빌드업

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위와 같은 회로의 합성저항을 구한다고 생각해보자. 물론 아래와 같이 병렬회로로 바꾸면 답 자체는 공식을 통해 구할 수 있다.

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저항이 $n$ 개 있을 때 병렬의 저항 공식은 $\displaystyle {{1} \over {R}} = {{1} \over {R_{1}}} + {{1} \over {R_{2}}} + \cdots + {{1} \over {R_{n}}}$ 이다. 공식에 저항을 대입해보면

$$ \begin{align*} {{1} \over {R}} =& {{1} \over {2}} + {{1} \over {5}} + {{1} \over {5}} \\ =& {{1} \over {2}} + {{2} \over {5}} \\ =& {{5} \over {10}} + {{4} \over {10}} \\ =& {{9} \over {10}} \end{align*} $$

이고, 따라서 합성저항은 $1/R$ 의 역수인 $\displaystyle R = {{10} \over {9}}$ 가 된다.

문제는 이러한 정석적인 풀이가 의외로 어렵고 계산이 많다는 것이다. 당연하다면 당연한 게, 분수의 덧셈이다보니 통분하는 과정에서 사소한 곱셈이 많고 결과도 역수꼴로 나온다. 저항 문제를 실수로 틀렸다는 걸 보면 꼭 덧셈을 말도 안 되게 실수하거나 마지막에 역수를 안 취해서 틀린다. 학년이 올라갈수록 주어진 시간 안에 계산을 얼마나 빨리하냐의 승부가 되는 물리의 특성상 병렬저항은 부담이 될수밖에 없다. 합성저항을 몰라서 틀리는 게 아니라, 마음이 급해져서 서두르다보니 실수가 많아져서 틀리는 것이다. 이것을 보다 쉽고 빠르게, 아니 적어도 실수는 적게 풀 수 있는 방법을 소개한다. 이 방법은 고등학교 이하에선 대부분의 저항들이 자연수로 주어지기 때문에 쓸 수 있는 방법이다. 어디서나 다 통하지는 않지만, 오히려 그렇기 때문에 풀 수 있는 문제는 확실하게 푼다.

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$2$ 와 $5$ 의 최소공배수는 $10$ 이고, $2 \Omega$ 은 $10 \Omega$ 짜리 저항을 $5$ 개 병렬연결한 것으로 볼 수 있다. 마찬가지로 $5 \Omega$ 은 $10 \Omega$ 짜리 저항을 $2$ 개 병렬연결한 것으로 볼 수 있다. $2 \Omega$ 와 $5 \Omega$ 를 모조리 $10 \Omega$ 으로 바꿨으므로 이제 $10 \Omega$ 의 갯수로만 나누면 계산이 끝난다. 실제로 $10 \Omega$ 의 갯수는 $9$ 개로, 이 방법으로 구한 합성저항은 $\displaystyle {{10} \over {9}}$ 다. 분수의 계산문제가 최소공배수를 구하고 단순히 갯수를 세는 문제로 바뀌었으므로 풀이가 빨라지고 검산도 쉽다. 엄밀히 말하자면 사실 병렬저항 공식에도 이러한 계산이 다 들어 있지만, 사소한 과정 몇개를 생략해서 속도를 올린 것이다.

예제

[1]

$2 \Omega$, $3 \Omega$, $7 \Omega$ 의 병렬저항을 구하라.

풀이

  • 저항들의 최소공배수는 $42 \Omega$ 다.
  • $2 \Omega$, $3 \Omega$, $7 \Omega$ 은 $42 \Omega$ 가 각각 $21$ 개, $14$ 개, $6$ 개 병렬연결된 것과 같다.
  • 따라서 병렬저항은 $$\displaystyle R = {{42} \over {21 +14 +6 }} = {{42} \over {41}}$$

[2]

$3 \Omega$, $6 \Omega$, $10 \Omega$ 의 병렬저항을 구하라.

풀이

  • 저항들의 최소공배수는 $30 \Omega$ 다.
  • $3 \Omega$, $6 \Omega$, $10 \Omega$ 은 $30 \Omega$ 가 각각 $10$ 개, $5$ 개, $3$ 개 병렬연결된 것과 같다.
  • 따라서 병렬저항은 $$\displaystyle R = {{30} \over {10 +5 + 3 }} = {{5} \over {3}}$$
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