분수 함수의 역함수와 이차정사각 행렬의 역행렬의 모양

분수 함수의 역함수와 이차정사각 행렬의 역행렬의 모양

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정리

  • 분수함수 $\displaystyle f(x)=\frac { ax+b }{ cx+d }$ 의 역함수는 $$ f^{ -1 }(x)=\frac { dx-b }{ -cx+a } $$
  • 2차 정사각행렬 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 의 역행렬은 $$ \frac { 1 }{ ad-bc } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

설명

단순한 우연의 일치일지도 모르겠지만, 이런 우연을 찾는 것 또한 수학의 즐거움이다. 행렬이 교과 과정에서 없어졌다고는 하지만 얼마든지 유용하게 쓸 수 있는 사실이다.

증명

$$ \begin{align*} & y=\frac { ax+b }{ cx+d } \\ \implies& (cx+d)y=ax+b \\ \implies& (cy+d)x=ay+b \\ \implies& cxy+dx=ay+b \\ \implies& (cx-a)y=-dx+b \\ \implies& y=\frac { -dx+b }{ cx-a } \\ \implies& y=\frac { dx-b }{ -cx+a } \end{align*} $$

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