두 사건이 서로 배반이면 서로 종속임을 증명

두 사건이 서로 배반이면 서로 종속임을 증명

정리

두 사건 $A,B$ 에 대해 $B=A^c$ 면 $P(A\cap B) \neq P(A)P(B)$

설명

굳이 수식을 통한 증명이 없더라도 상식적으로 배반이면 독립일 리가 없다. 한 사건이 일어났을 때 다른 사건이 일어나지 않는다는 것은 이미 영향을 미치다는 말이기 때문이다. 다만 이것을 알고 모르고는 참 거짓을 판별하는 문제를 풀 때 아주 큰 차이가 있다.

증명

두 사건 $A,B$ 에 대해 $P(A)>0, P(B)>0$ 라 하자.이때 두 사건은 서로 배반이므로 $P(A\cap B)=0$ 이다. 그런데 $P(A)>0, P(B)>0$ 이므로 $P(A)P(B)>0$ 이고, $P(A\cap B)\neq P(A)P(B)$ 이어야 한다.

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