르벡공간의 횔더 부등식 증명

르벡공간의 횔더 부등식 증명

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 다음의 식을 만족시키는 두 상수 $1 \lt p \lt \infty, 1 \lt p^{\prime} \lt \infty$가 주어졌다고 하자.

$$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right) $$

만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$이면 $uv \in L^1(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

위 부등식을 횔더 부등식Hölder’s inequality이라 한다.

설명

$p^{\prime}$은 $p$의 횔더 켤레Hölder conjugate 혹은 켤레 지수conjugate exponent라고 한다. $q$라고 표기하는 경우도 많다.

$| u(x) |^{p}$와 $| v(x) |^{p^{\prime}}$이 $\Omega$의 거의 어디에서나 비례관계이면 등식이 성립한다.

본질적으로 유클리드 공간에서의 횔더 부등식과 같으며, $p=p^{\prime}=2$ 일 때 코시-슈발츠 부등식이 되는 것 또한 마찬가지다. 증명 자체는 코시-슈발츠 부등식의 증명에서 영의 부등식이 추가된 것밖에 없다.

다음과 같은 꼴로 일반화도 가능하다.

$$ \| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v\|_{p^{\prime}} $$

$$ \| u \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \prod_{j=1}^{N} \| u_{j} \|_{{p}_j} = \| u_{1} \|_{{p}_1} \cdots \| u_{N} \|_{p_{N}} $$

증명

영의 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$ 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 $p, p^{\prime}$와 두 양수 $a,b$ 에 대해

$$ ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{p^{\prime}}} \over {p^{\prime}}} $$

같이보기


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p24-25 ↩︎

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