📂편미분방정식

라플라스 방정식은 직교변환에 대해서 불변임을 증명

정리¹

$u$가 라플라스 방정식을 만족한다고 하자. 그리고 $v(x)$를 아래와 같이 정의하자.

$$v(x) :=u(Rx)$$

이때, $R$은 회전변환이다. 그러면 $v(x)$도 라플라스 방정식을 만족한다.

$$\Delta v=0$$

설명

사실 위의 내용은 모든 직교변환에 대해서 성립한다. 따라서 라플라스 방정식이 회전 변환에 불변이라는 사실은 라플라스 방정식이 직교 변환에 대해 불변이라는 사실의 특수한 경우이다.

증명

$u$가 라플라스 방정식을 만족한다고 하자. $O$를 임의의 직교변환이라고 하자. 그러면 다음의 식을 보이는 것이 증명의 목표이다.

$$v(x)=u(Ox)\ \implies \Delta v=0$$

$O$를 구체적으로 아래와 같다고 하자.

$$O=[o_{ij}]=\begin{pmatrix} o_{11} & o_{12} & \cdots &o_{1n} \\ o_{21} & o_{22} & \cdots & o_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ o_{n1} & o_{n2} & \cdots & o_{nn} \end{pmatrix}$$

그러면 다음이 성립한다.

$$Ox=\begin{pmatrix} o_{11} & o_{12} & \cdots &o_{1n} \\ o_{21} & o_{22} & \cdots & o_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ o_{n1} & o_{n2} & \cdots & o_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} o_{11}x_{1} + o_{12}x_{2} + \cdots +o_{1n}x_{n} \\ o_{21}x_{1}+ o_{22}x_{2}+ \cdots + o_{2n}x_{n} \\ \vdots \\ o_{n1}x_{1}+ o_{n2}x_{2}+ \cdots +o_{nn}x_{n} \end{pmatrix}$$

이때 $Ox=y$라고두면 다음을 얻는다.

$$Ox=\begin{pmatrix} o_{11}x_{1} + o_{12}x_{2} + \cdots +o_{1n}x_{n} \\ o_{21}x_{1}+ o_{22}x_{2}+ \cdots + o_{2n}x_{n} \\ \vdots \\ o_{n1}x_{1}+ o_{n2}x_{2}+ \cdots +o_{nn}x_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}=y$$

이는 다음의 식과 같다.

$$v(x)=u(y)$$

$v$의 전미분을 구하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} dv &=\dfrac{\partial u}{\partial y_{1}}dy_{1}+\dfrac{\partial u}{\partial y_{2}}dy_{2}+\cdots + \dfrac{\partial u}{\partial y_{n}}dy_{n} \\ &= u_{y_{1}}dy_{1} + u_{y_{2}}dy_{2} + \cdots +u_{y_{n}}dy_{n} \end{align*}$$

따라서 $\dfrac{\partial v}{\partial x_{i}}=v_{x_{i}}$는 다음과 같다.

$$v_{x_{i}} = u_{y_{1}}o_{1i}+u_{y_{2}}o_{2i}+\cdots + u_{y_{n}}o_{ni}=\sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}}o_{ji}$$

같은 방식으로 다음을 얻는다.

$$v_{x_{i}x_{i}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{k}}o_{ji}o_{ki}$$

이때 $O$는 직교행렬이므로 $OO^T=I$이고, 따라서 아래의 식이 성립한다.

$$\sum \limits_{i=1}^{n} o_{ji}o_{ki}=\delta_{jk}$$

그러므로 다음의 결과를 얻는다.

$$\begin{align*} \Delta v=\sum_{i=1}^{n} v_{x_{i}x_{i}} &= \sum \limits_{i=1}^{n}\sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{k}}o_{ji}o_{ki} \\ &= \sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{k}}\delta_{jk} \\ &= \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{j}} \\ &= \Delta u=0 \end{align*}$$

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