📂다변수벡터해석

헤세 행렬이란

정의

$D \subset \mathbb{R}^{n}$ 에서 정의된 다변수 스칼라 함수 $f : D \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같은 행렬 $H \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 을 $f$ 의 헤세 행렬이라 한다.

$$ H := \begin{bmatrix} {{\partial^2 f } \over {\partial x_{1}^2 }} & \cdots & {{\partial^2 f } \over { \partial x_{1} \partial x_{n} }} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial^2 f } \over {\partial x_{n} \partial x_{1} }} & \cdots & {{\partial^2 f_{m} } \over {\partial x_{n}^2 }} \end{bmatrix} $$

설명

$f$의 헤시안에 대해서 다음과 같은 표기들이 쓰인다.

$$ H,\quad H(f),\quad H_{f},\quad \mathbf{H},\quad \nabla^{2}f $$

이때 $\nabla^{2}$는 라플라시안으로도 흔히 쓰이는 표기법이니 주의하자.

야코비 행렬이 함수의 고차원적인 도함수에 해당한다면, 헤세 행렬은 고차원적인 이계도함수라고 볼 수 있다. 물론 야코비 행렬만큼 빈번하게 보이지는 않지만 수리 통계학처럼 뜬금없는 곳에 간혹 등장하곤 한다. 또 헤세 행렬은 스칼라 함수에 대해서만 정의된다는 점에 주의해야한다.