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외향 단위 법선 벡터

정의¹

$U\subset \mathbb{R}^{n}$을 열린 집합이라고 하자. $U$의 경계 $\partial U$가 $\partial U \in C^1$이라고 하자.그러면 다음과 같은 외향 단위 법선 벡터를 정의할 수 있다.

$$ \boldsymbol{\nu}=(\nu^{1}, \nu^{2}, \dots, \nu^{n}) \quad \text{and} \quad |\boldsymbol{\nu}|=1 $$

$\boldsymbol{\nu}$는 경계의 한 점에서 접하고 크기가 1이며 바깥쪽을 향하는 벡터이다. $u \in C^{1}(\bar{U})$라고 하자. 그러면 방향 도함수 $\dfrac{\partial u}{\partial \nu}$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} := \boldsymbol{\nu} \cdot Du=(\nu^1,\cdots,\nu^n)\cdot(u_{x_{1}}, \cdots, u_{x_{n}}) $$

$D=D^{1}$은 멀티인덱스 표기법이며, $Du$는 $u$의 그래디언트이다.