📂편미분방정식

수송 방정식의 초기값 문제와 비동차 문제 풀이

방정식

아래의 편미분방정식을 수송방정식^{transport equation}이라 한다.

$$u_{t} + b \cdot Du=0\quad \text{in }\mathbb{R}^n \times (0,\ \infty)$$

풀이¹

초기값 문제

수송방정식의 초기값 문제가 아래와 같이 주어졌다고 하자.

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} u_{t}+b \cdot Du &= 0 && \text{in } \mathbb{R}^n \times [0,\ \infty) \\ u &= g && \text{on } \mathbb{R}^n\times \left\{ t=0 \right\} \end{aligned} \right. \label{IVP} \end{equation}$$

$b \in \mathbb{R}^n$는 수송방정식에서 주어진 상수이고, $g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$는 초기값으로 주어져있다. 이를 통해 $u$를 얻는 것이 문제이다. $z$를 다음과 같이 정의하자.

$$z(s):=u(x+sb,\ t+s)\quad (s \in \mathbb{R})$$

그러면 다음을 얻는다.

$$z(-t)=u(x-tb,\ 0)=g(x-tb)$$

또한 $z(s)$의 값은 $s$와 무관하므로 다음이 성립한다.

$$z(-t)=z(0)=u(x,\ t)$$

따라서 솔루션은 다음과 같다.

$$u(x,\ t)=g(x-tb) \ \ (x\in \mathbb{R}^n,\ t \ge 0)$$

역으로 $u(x,\ t)=g(x-tb)$를 만족하는 $g \in C^1(\mathbb{R}^n)$가 있다면, $u \in C^1$은 $(1)$의 솔루션이 된다.

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비동차 문제

초기값문제에서 우변의 항이 $0$이 아닌 경우이다.

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} u_{t}+b \cdot Du &= f && \text{in }\mathbb{R}^n \times [0,\ \infty) \\ u &= g && \mathrm{on }\mathbb{R}^n\times \left\{ t=0 \right\} \end{aligned} \right. \label{NHIVP} \end{equation}$$

위에서 정의한 $z$에 대해서 $\dot{z}$를 구하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{z}(s) &= \dfrac{dz}{ds} \\ &= \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{d x}{d s} + \dfrac{\partial u}{\partial t}\dfrac{d t}{d s} \\ &= Du(x+sb,\ t+s)\cdot b +u_{t}(x+sb,\ t+s) \\ &= f(x+sb,\ t+s) \end{align*}$$

따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} u(x,\ t)-g(x-tb)&=z(0)-z(-t) \\ &= \int_{-t}^0 \dot{z}(s) ds \\ &= \int_{-t}^0 f(x+sb,\ t+s)ds \\ &= \int_{0}^t f(x+(s-t)b,\ s)ds \end{align*}$$

네번째 등호는 $s \equiv s^{\prime}+t$로 치환하면 성립한다. 그러면 $(2)$의 해는 다음과 같다.

$$u(x,\ t)=g(x-tb)+\int_{0}^t f(x+(s-t)b,\ s)ds\quad (x\in\mathbb{R}^n,\ t \ge 0)$$

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