푸리에 급수의 정적분
정리
주기가 $2L$인 주기함수 $f$가 구간 $[-L,\ L)$에서 조각마다 연속 이라고 하자.그러면 $f$의 정적분은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt= c_{0}(t_{2}-t_{1}) +\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n}\left( e^{i\frac{n\pi t_{2}}{L}}-e^{i\frac{n\pi t_{1}}{L}} \right) $$
이 때, $c_{0},\ c_{n}$은 복소 푸리에 계수이다.
즉, $f(t)$의 정적분은 $f(t)$의 푸리에 급수의 각 항을 정적분하여 더한 것과 같다. 주의해야 할 점은 우변이 좌변의 푸리에 급수는 아니라는 것이다.
증명
함수 $F$를 다음과 같이 정의하자.
$$ F(t):= \int_{0}^t f(s)ds-c_{0}t $$
그러면 $F$는 주기가 $2L$인 주기함수가 됨을 보일 수 있다.
$$ \begin{align*} F(t+2L) &= \int_{0}^{t+2L} f(s)ds - c_{0}(t+2L) \\ &= \int_{0}^t f(s)ds+\int_{t}^{2L}f(s)ds - c_{0}t -2Lc_{0} \\ &= \int_{0} ^t f(s)ds-c_{0}t=F(t) \end{align*} $$
$f$가 조각마다 연속이므로 $F$는 연속이다.따라서 $F$는 디리클레 조건을 만족하므로 푸리에 급수로 전개할 수 있다.
$$ F(t)=C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} C_{n}e^{i\frac{n\pi}{L}t} $$
상수항을 따로 빼는 이유는 뒤에서 알게 될 것이다. 계수를 구해보면
$$ \begin{align*} C_{n}&=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} F(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{-L}{in\pi} \dfrac{1}{2L} \left[ F(t)e^{i\frac{n\pi}{L}t} \right]_{-L}^{L} +\dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} F^{\prime}(t)e^{-i\frac{n\pi }{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( f(t)-c_{0} \right) e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt -\dfrac{L}{in\pi}\dfrac{c_{0}}{2L} \int_{-L}^{L} e^{-i\frac{n\pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \end{align*} $$
따라서
$$ F(t)=C_{0} +\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t} $$
$F(t)$의 정의를 이용해 $f(t)$의 정적분을 구하면
$$ \begin{align*} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt &= \int_{0}^{t_{2}} f(t) dt -\int_{0}^{t_{1}} f(t)dt \\ &= F(t_{2})- F(t_{1}) + c_{0}(t_{2}-t_{1}) \\ &= \left( C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}} \right) -\left( C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right) +c_{0}(t_{2}-t_{1}) \\ &= c_{0}(t_{2}-t_{1}) + \sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \left( e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}}-e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right) \end{align*} $$
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글 상단에서도 언급했지만 우변이 $\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)dt$의 푸리에 급수가 아님을 주의하자. $\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt -c_{0}(t_{2}-t_{1})$의 푸리에 급수가 $\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \left( e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}}-e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right)$ 이다.