📂푸리에해석

불연속점에서 푸리에 급수의 수렴성

정리¹

구간 $[-L,\ L)$에서 정의된 함수 $f(t)$가 조각마다 연속이라고 하자. 불연속점을 $t_{i}\ (i=1,\ \cdots m )$라고 하고 각 불연속점에서 좌미분계수 $f(a-)$, 우미분계수 $f(a+)$ 를 가진다고 하자. 그러면 $f(t)$의 푸리에 급수는 불연속점 $t_{i}$에서 좌극한와 우극한의 중간값으로 수렴한다.

$$ \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n} \cos \dfrac{n \pi t_{i} }{L} +b_{n}\sin\dfrac{n\pi t_{i}}{L} \right) = \dfrac{f(t_{i}+)+f(t_{i}-)}{2} $$

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$f$가 리만적분가능하면 $f$의 푸리에급수는 연속인 점 $t$에서 $f$로 수렴한다. 불연속점에서는 위의 정리로부터 좌우미분계수의 중간값으로 수렴함을 알 수 있다.

증명

임의의 불연속 점을 $t_{i}=t$라고 하자.

푸리에 급수와 디리클레 커널의 관계

$$ S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{N}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx $$

위 관계식을 통해 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{align} & \lim_{N \rightarrow \infty} S_{N} (t) \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right) dx \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L} \right) d\lambda \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L} \right) d\lambda \nonumber \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(\lambda + t)D_{N}\left(\dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda +\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda +t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda \end{align} $$

두번째 등호는 $x-t=\lambda$로 치환하면 성립한다. 세번째 등호가 성립하는 이유는 한 주기$(2L)$에 대한 적분이기만 하면 상관없기 때문이다.

디리클레 커널의 적분

$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx = 1 $$

디리클레 커널은 우함수이므로 위 식으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{2} $$

따라서 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \dfrac{1}{2}f(t+) &= f(t+)\dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(t+)D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda \\ \dfrac{1}{2}f(t-) &= f(t-)\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right) d\lambda=\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(t-)D_{N} \left( \dfrac{\pi \lambda }{L} \right) d\lambda \end{aligned} \end{equation} $$

$(1)$의 두 항의 적분범위에 맞춰서 $(2)$의 두 식을 각각 빼주면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda - \dfrac{1}{2}f(t+) \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}\Big( f(\lambda + t) -f(t+) \Big) D_{N}\left(\dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}\Big( f(\lambda + t) -f(t+)) \Big)\dfrac{\sin\left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L}}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}} d\lambda \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}g_+(\lambda) \sin\left[ \left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L}\right] d\lambda \end{align*} $$

이때, $g_+(\lambda) = \dfrac{ f(\lambda + t) -f(t+) }{\lambda}\dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}}$이다. 두번째 등호는 아래의 식에 의해 성립한다.

푸리에 급수와 디리클레 커널의 관계

$$ S_{N}^{f} (t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{n}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx $$

같은 방법으로 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda - \dfrac{1}{2}f(t-) \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0}g_-(\lambda) \sin\left[ \left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L}\right] d\lambda \end{align*} $$

이때, $g_-(\lambda) = \dfrac{ f(\lambda + t) -f(t-) }{\lambda}\dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}}$이다. 이제 $g_\pm(\lambda)$가 조각마다 연속임을 보이려한다. 사인함수의 극한의 성질에 의해

$$ \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}} =\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\pi \lambda}{2L}}{\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}} \dfrac{L}{\pi}=\dfrac{L}{\pi} $$

이므로 임의의 $\lambda \in [-L,\ L)$에서 아래의 식을 만족하는 $M_{1}>0$이 존재한다.

$$ \left| \dfrac{\lambda}{2\sin \dfrac{\pi \lambda}{2L}}\right| \le M_{1} <\infty $$

$0$이 아닌 곳에서는 발산하지 않음이 확실하고 $0$에서도 발산하지 않음을 보였기 때문에 유계라는 말이다. 즉, 구간 내에 유한 개의 불연속점이 있고 불연속점의 좌/우 극한이 모두 존재한다. 따라서 구간 내에서 조각마다 연속이 된다. 연속이면 리만적분가능하고, 리만적분가능하면 유계이고 $f$는 $t$에서 우미분계수를 가지므로 임의의 $\lambda \in (0,\ L)$에서 아래의 식을 만족하는 $M_2$가 존재한다.

$$ \left| \dfrac{f(\lambda+t) -f(t+)}{\lambda} \right| \le M_2 <\infty $$

마찬가지로 구간 내에서 조각마다 연속이다.위의 두 사실에 의해 $g_+(\lambda)$는 $[0,\ L)$에서 조각마다 연속이고 또한 리만적분가능하다.따라서

$$ \begin{align*} & \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda - \dfrac{1}{2}f(t+) \\ =& \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L}g_+(\lambda) \sin\left[ \left(N+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi \lambda}{L} \right]d\lambda \\ =&\ 0 \end{align*} $$

$g_+(\lambda)$가 구간 내에서 조각마다 연속이므로 리만-르벡 보조정리에 의해서 두번째 등호가 성립한다.

리만-르벡 보조정리

함수 $f(t)$가 구간 $[-L,\ L)$에서 조각마다 연속이면 아래의 식이 성립한다.

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \cos \dfrac{n \pi}{L}t dt=0 $$

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \sin \dfrac{n \pi}{L}t dt=0 $$

따라서

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda=\dfrac{1}{2}f(t+) $$

같은 방법으로 아래의 식을 얻을 수 있다.

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{0} f(\lambda + t)D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda }{L}\right) d\lambda=\dfrac{1}{2}f(t-) $$

두 식을 합치면

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_{N}(t) = \dfrac{1}{2}\big(f(t+)+f(t-)\big) $$

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