스칼라 함수와 벡터값 함수
정의
집합 $D$ 를 $n$차원 유클리드 공간의 부분집합 $D\subset \mathbb{R}^{n}$ 이라 하자.
- $D$ 를 정의역으로 갖는 함수를 다변수 함수function of several variables라 한다.
- $f : D \to \mathbb{R}$ 을 스칼라 함수scalar function라 한다.
- 스칼라 함수 $f_{1} , \cdots , f_{m} : D \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\mathbf{f} : D \to \mathbb{R}^{m}$ 를 벡터값 함수vector-valued function라 한다. $$ \mathbf{f} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) : = \begin{bmatrix} f_{1} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \\ \vdots \\ f_{m} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \end{bmatrix} $$
설명
다변수 함수
다변수 함수를 의미하는 영단어로는 function of several variables, multivariable function, multivariate function 등이 있다.
다변수 함수라는 표현은 특히 미적분학을 위시한 해석학에서 쓰는 표현이다. 애초에 스칼라 함수든 벡터값 함수든 그냥 함수는 함수일 뿐인데, 그 공역을 쉽게 구분하기 위해 사용하는 단어에 지나지 않는다. 선형대수학의 관점으로 보자면 벡터값 함수가 $m=1$ 이면 스칼라 함수가 된다고 말할 수 있으므로 개념적인 차이는 전혀 없다고 할 수 있다.
스칼라 함수
스칼라 함수의 예로써 $ F ( m , a ) := ma$ 를 생각해볼 수 있다. $m$ 이 질량이든 $a$ 가 가속도든 수학도의 눈에는 $(m , a) \in \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right) \subset \mathbb{R}^2$ 와 같은 $2$차원 벡터로 보여야한다. $ma$ 는 단순히 두 실수 $m$ 과 $a$ 의 곱이고, $ma \in \mathbb{R}$ 이므로 스칼라 함수의 조건을 잘 만족시킨다. 한편 벡터 미적분학에서는 주어진 공간상의 모든 점마다 스칼라 값이 하나씩 대응된다는 점에서 스칼라장scalar field라 부르기도 한다.
벡터값 함수
벡터값 함수의 예로써
$$
\mathbf{q} ( m , v , a ) : = \begin{bmatrix}
ma
\\ mv
\\ {{1} \over {2}} m v^2
\end{bmatrix}
$$
를 생각해볼 수 있다. 물리학도의 눈에는 첫번째 성분부터 차례로 힘, 운동량, 운동에너지겠지만 벡터값 함수라는 점만 생각해보면 그저 $\mathbf{q} : D \to \mathbb{R}^3$ 에 지나지 않는다. 한편 벡터 미적분학에서는 주어진 공간상의 모든 점마다 벡터가 하나씩 대응된다는 점에서 벡터장vector field라 부르기도 한다.