📂상미분방정식

2계 선형 미분 방정식의 두 해의 론스키안

정리 ¹

$y_{1}$과 $y_{2}$가 2계 선형 미분 방정식 $y^{\prime \prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=0$의 해라고 하자. 그러면

1. $y_{1}$과 $y_{2}$의 론스키안 은 지수함수 꼴로 나타난다.

   $$ W [y_{1}, y_{2}] (t)=c e^{-\int p(t) dt} $$

   이 때 $c$는 $y_{1},\ y_{2}$에 의존하는 상수이다.

2. $W[y_{1},y_{2}] (t)$는 모든 점에서 $0$이거나 모든 점에서 $0$이 아니다.

설명

아벨의 정리^{Abel’s theorem}라고도 한다. 보통 아벨의 정리라고 하면 아벨의 극한 정리^{Abel’s limit theorem}를 말하지만 Boyce 상미분방정식 교재에서는 위의 정리를 아벨의 정리라고 한다. 아벨이 유도했기 때문에 그리 명명한 것으로 보인다.

위 정리의 핵심은 2. 이다. 론스키안이 항상 $0$이거나 $0$이 아니기 때문에, $0$이 아닌 점 하나만 발견하면 $W[y_{1},y_{2}]\ne 0$이고 $y_{1},\ y_{2}$는 독립이고 기본 해 집합을 이룸을 알 수 있다. 어떤 두 해의 론스키안을 계산 했는데 이게 $0$인지 아닌지 헷갈릴 때, 임의의 값(계산하기 쉬운 값을 택한다)을 넣어서 $0$이 아님을 보이면 두 해가 독립임을 보인 것과 같다.

증명

$y_{1},\ y_{2}$가 주어진 미분 방정식의 해이므로 다음이 성립한다.

$$ y_{1}^{\prime \prime}+p(t)y_{1}^{\prime}+q(t)y_{1}=0 \\[1em] y_{2}^{\prime \prime}+p(t)y_{2}^{\prime}+q(t)y_{2}=0 $$

위의 식에 $-y_{2}$를 곱하고 아래의 식에 $y_{1}$을 곱해서 둘을 더하면

$$ \begin{equation} (y_{1}y_{2}^{\prime \prime}-y_{1}^{\prime \prime}y_{2})+p(t)(y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2})=0 \end{equation} $$

론스키안의 정의에 따라

$$ W[y_{1},y_{2}] (t)=W=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2} \\[1em] W^{\prime}=y_{1}^{\prime}y_{2}^{\prime}+y_{1}y_{2}^{\prime \prime}-y_{1}^{\prime \prime}y_{2}-y_{1}^{\prime}y_{2}^{\prime}=y_{1}y_{2}^{\prime \prime}-y_{1}^{\prime \prime}y_{2} $$

$(1)$을 $W, W^{\prime}$로 표현하면

$$ W^{\prime}+p(t)W=0 $$

이는 간단한 분리가능한 1계 미분 방정식이다.

$$ \begin{align*} \\ && W^{\prime}+p(t)W =&\ 0 \\ \implies && \dfrac{dW}{dt} =&\ -p(t)W \\ \implies && \dfrac{1}{W} dW =&\ -p(t)dt \\ \implies && \ln W =&\ -\int p(t)dt+C \\ \implies && W =&\ ce^{-\int p(t) dt} \end{align*} $$

$W$가 지수함수 꼴이므로 $c=0$이 아닌 이상 절대 $0$이 될 수 없다.따라서 $W=0$인 경우는 $c=0$인 경우이고 이 때는 $t$에 상관없이 모든 점에서 $W=0$이다. 또한 $c \ne 0$인 경우에는 $W$가 지수함수 꼴이므로 $t$에 상관없이 모든 점에서 $W \ne 0$이다.

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