📂전자기학

기전력과 운동 기전력

기전력¹

회로에서 전하를 움직여 전류를 만들어내는 힘을 $\mathbf{f}$라고 하자. 이 $\mathbf{f}$는 두 가지로 나눌 수 있다. 하나는 회로 전원의 힘 $\mathbf{f}_{s}$이고 다른 하나는 회로 어느 부분에 쌓인 전하에 의해 만들어진 전기력 $\mathbf{E}$이다. 여기서 아래첨자 $s$는 source의 약자이다. 따라서

$$ \mathbf{f}=\mathbf{f}_{s}+\mathbf{E} $$

전원의 힘 $\mathbf{f}_{s}$는 보통 회로의 일부에만 영향을 미치고 $\mathbf{E}$가 그 영향을 회로 전체에 전달하는 역할을 한다. $\mathbf{f}$가 회로 속의 전하를 이동시켜 전류를 발생 $\mathbf{f}$를 그 순간의 회로의 경로에 대한 적분한 값으로 결정하고 이를 기전력^{electromotive force, emf} 이라 한다. (기전력을 전원이 단위 전하에 해준 일로 정의할 수도 있지만 애매함이 있다. 기전력과 단위 전하에 해준 일을 계산한 값은 같지만, 그 둘의 원리가 같고, 같은 의미를 지니는 것이 아니다. 아래의 운동 기전력에서 자세히 설명하겠다.)

$$ \mathcal{E} \equiv \oint \mathbf{f} \cdot d\mathbf{l} = \oint \mathbf{f}_{s}\cdot d\mathbf{l} + \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \oint \mathbf{f}_{s}\cdot d\mathbf{l} $$

전기장 $\mathbf{E}$를 닫힌 경로에 대해서 적분한 값은 $0$이므로 $\mathbf{f}$에 대해서 적분하나 $\mathbf{f}_{s}$에 대해서 적분하나 결과는 같다. 주의해야할 점은 힘^force이라는 이름이 붙었지만 실제로는 힘이 아니고, 단위전하가 받는 힘을 거리에 대해 적분한 것으로 볼트^vlot와 단위가 같다는 것이다. 예를 들어 내부저항이 없는 전지와 같은 이상적인 기전력 원에서는 전하가 받는 알짜힘이 $0$이므로

$$ 0=\mathrm{f}_{s}+\mathbf{E}\ \implies \ \mathbf{E}=-\mathbf{f}_{s} $$

따라서 전위는

$$ V=-\int_{a}^b \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} = \int_{a}^b \mathbf{f}_{s} \cdot d \mathbf{l} =\oint \mathbf{f}_{s} \cdot d \mathbf{l} -= \mathcal{E} $$

여기서 주의해야 할 점은 위 식의 의미는 기전력의 크기와 전위의 크기가 같다는 것이지 전위와 기전력이 같은 의미를 가지는 물리량이 아니라는 것이다. 전지가 기전력과 같은 크기의 전위차를 만드는 것이라고 이해해야 한다.

운동 기전력²

자기장 속에서 움직이는 도선에 생기는 기전력을 운동 기전력^{motional electromotive forece, motional emf} 이라 한다. 예를 들어 위와 같은 상황에서 운동 기전력은

$$ \begin{align*} \mathcal{E} &= \oint \mathbf{f}_{m} \cdot d\mathbf{l} \\ &= \int_{ab} \mathbf{f}_{m} \cdot d\mathbf{l} + \int_{bc} \mathbf{f}_{m} \cdot d\mathbf{l} + \int_{ad} \mathbf{f}_{m} \cdot d\mathbf{l} \\ &= \int_{ab} vBdl \\ &= vBh \end{align*} $$

변 $bc$와 $ab$에 대해서는 자기력 $\mathbf{f}_{m}$과 회로의 경로의 방향이 수직이라 기전력을 만들지 못한다. 그리고 나머지 부분 중에서 변 $ab$를 뺀 부분은 자기장이 $0$이라 적분 값 또한 $0$이다. 따라서 변 $ab$에 대한 적분항만 남는다. 이 때 주의해야 할 것은 적분경로를 전하가 실제로 움직이는 경로로 하는 것이 아니라는 것이다. 전하가 변 $ab$를 아래에서 위로 이동하고 변 $ab$가 오른쪽으로 움직이면 실제로 전하는 오른쪽 위의 대각방향으로 운동하지만 이는 적분 경로가 아니다. 적분 경로는 고리가 움직이는 한 순간의 회로의 경로와 같다는 것이다.

위에서 기전력을 전원이 단위전하에 해준 일로 정의하지 않는다고 했는데 이는 자기력은 일을 하지 않는다는 사실과 관계있다. 만약 그렇게 정의했다면 위에서 계산한 운동 기전력의 값은 항상 $0$으로 나올 것이다.분명히 자기력은 기전력을 만들어내지만 어떤 일도 하지 않는다. 에너지(일)를 공급하는 주체는 자기력이 아니라 사람이 고리를 당기는 힘이다. 사람이 고리를 당기고 기전력이 생기면 고리에 전류가 흐른다.

변 $ab$에 대해서 생각해보면 전류는 수직방향으로 흐르고 회로 자체는 수평방향으로 운동한다. 따라서 전하의 운동방향은 수평방향과 수직방향이 모두 존재한다. 이 때 수평방향의 속도를 $\mathbf{v}$, 수직방향의 속도를 $\mathbf{u}$라고 하자.

오른손 법칙에 의해 자기력 $\mathbf{f}_{m}$의 방향은 위 그림과 같다. 자기력의 수평 성분이 $uB$이므로 사람이 당겨야하는 힘도 그와 같은 크기의 $\mathbf{f}_{pull}=uB$이다. 전하가 실제로 움직이는 방향은 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{w}$의 방향과 같고 움직인 거리는 $\dfrac{h}{\cos \theta}$이다. 따라서 사람이 고리를 당기는 힘이 단위 전하당 한 일은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \int \mathbf{f}_{pull}\cdot d\mathbf{l} &= (uB)\dfrac{h}{\cos \theta}\cos\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) \\ &= \dfrac{u}{\cos \theta} Bh \sin \theta \\ &= w\sin\theta Bh \\ &= vBh \\ &= \mathcal{E} \end{align*} $$

실제로 단위 전하에 해준 일은 기전력과 같다. 다만 실제로 계산을 함에 있어서 해당하는 힘과 적분 경로는 서로 전혀 다르다.

운동 기전력과 자기장의 선속의 관계

움직이는 고리에 의해 생성되는 기전력을 자기장의 선속으로 표현할 수 있다. 고리를 지나가는 자기장의 선속을 $\Phi$라 하자.

$$ \Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} $$

글 상단의 첫번째 그림과 같은 사각형 고리를 예로 들면 그 값은

$$ \Phi = Bhx $$

그림과 같이 고리를 오른쪽으로 잡아당기면 고리의 면적이 줄어들고 선속도 줄어든다.(부호가 $-$인 이유)

$$ \dfrac{d \Phi}{dt}=Bh\dfrac{dx}{dt}=-Bhv $$

이는 바로 위에서 구한 기전력과 부호가 반대이며 같은 크기를 가진 값이다. 따라서 고리에 생기는 기전력은 선속의 변화율로 나타낼 수 있다.

$$ \mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi}{dt} $$

위 식을 운동 기전력에 대한 선속 규칙^{flux rule}이라 하며, 사각형 모양의 고리를 예시로 들었지만 일반적으로 어떤 모양의 고리에서도 성립한다.