📂전자기학

정전기학에서의 일과 에너지

전하를 옮기느라 한 일¹

전위와 전기장 사이에 아래와 같은 식이 성립한다.

$$-\int_\mathbf{a} ^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int_\mathbf{a} ^ \mathbf{b} \left( \nabla V \right) \cdot d\mathbf{l} = V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a})$$

따라서 고정된 원천 전하 분포가 있고 시험전하 $Q$를 점 $\mathbf{a}$에서 점 $\mathbf{b}$까지 옮길 때 드는 일은 다음과 같이 계산한다.

$$W=\int_{\mathbf{a}}^\mathbf{b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = -Q\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} =Q[V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})]$$

위 식을 $Q$로 나누면 아래와 같다. 이는 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 전위차는 전하 $Q$를 $\mathbf{a}$에서 $\mathbf{b}$로 옮기는데 드는 일과 같다는 뜻이다.

$$V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})=\dfrac{W}{Q}$$

전하 $Q$를 아주 먼 곳에서 위치 $\mathbf{r}$으로 옮기는데 드는 일은

$$W=Q[V(\mathbf{r}) - V( \infty ) ]=QV(\mathbf{r})$$

점 전하 분포의 에너지

아무 것도 없는 공간에 아주 먼 곳엣 있던 전하 $q_{1}$을 옮겨온다고 하자.아무 것도 없는 공간이었기 때문에 전기장이 없고 따라서 아무런 일도 들지 않는다.

다음으로 전하 $q_2$를 먼 곳에서 $\mathbf{r}_2$로 옮겨온다고 하자. 이제는 $q_{1}$이 있으므로 전기장이 있고 $q_2$를 옮겨오는데 드는 일이 생긴다. $V_{1}(\mathbf{r}_2)$를 $q_{1}$이 만드는 전위의 $\mathbf{r}_2$에서의 값, $\cR_{12}$를 $q_2$를 옮기고 난 후 $q_{1}$과의 거리라고 하자. 그러면 위에서 구한 식에 따라,

$$W_2=q_2V_{1}(\mathbf{r}_2)=q_2\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{1}}{\cR_{12}}$$

이제 전하 $q_{3}$을 먼 곳에서 $\mathbf{r}_{3}$으로 옮겨온다고 하자. $q_{1}, q_2$가 만드는 전기장에 영향을 받으므로

$$W_{3}=q_{3}\left[ V_{1}(\mathbf{r}_{3})+V_{2}(\mathbf{r}_{3}) \right] =q_{3}\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \dfrac{q_{1}}{\cR_{13}}+\dfrac{q_2}{\cR_{23} }\right)$$

마찬가지로 전하 $q_{4}$를 가져오면

$$W_{4}=q_{4}\left[ V_{1}(\mathbf{r}_{4}) +V_2(\mathbf{r}_{4}) +V_{3}(\mathbf{4}) \right]=q_{4}\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left( \dfrac{q_{1}}{\cR_{14}}+\dfrac{q_2}{\cR_{24}} +\dfrac{q_{3}}{\cR_{34}}\right)$$

따라서 처음 4개의 전하를 모으는데 드는 일의 총 량은

$$W=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\dfrac{q_{1}q_2}{\cR_{12}} +\dfrac{q_{1}q_{3}}{\cR_{13}}+\dfrac{q_{1}q_{4}}{\cR_{14}}+\dfrac{q_2q_{3}}{\cR_{23}}+\dfrac{q_2q_{4}}{\cR_{24}}+\dfrac{q_{3}q_{4}}{\cR_{34}} \right)$$

$n$개의 전하를 옮겨오는 것으로 일반화를 하면

$$W=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j \ne i } ^n \dfrac{q_{i}q_{j}}{\cR_{ij}}$$

$i=2$, $j=3$인 경우와 $i=3$, $j=2$인 경우는 같으므로 전체 경우에서 $2$를 나눠줬다. 정리하면

$$W=\dfrac{1}{2}\sum \limits_{i}^n q_{i} \left( \sum \limits_{j \ne i} ^n \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\dfrac{q_{j}}{\cR_{ij}} \right)$$

이 때 괄호 속은 $q_{i}$가 있는 곳 $\mathbf{r}_{i}$가 있는 곳에 $j\ne i$인 $q_{j}$들이 만드는 전위이므로

$$W=\dfrac{1}{2}\sum \limits_{i}^n q_{i}V(\mathbf{r}_{i})$$

이는 모여있는 점 전하들에 저장된 에너지를 뜻한다.

연속 전하 분포의 에너지

점 전하에 대해서 위에서 구한 식을 선전하밀도, 면전하밀도, 부피전하밀도에 대해서 각각 나타내면

$$\begin{align*} W =&\ \dfrac{1}{2} \int \lambda V dl W =&\ \dfrac{1}{2} \int \sigma V da W =&\ \dfrac{1}{2} \int \rho V d\tau \end{align*}$$

부피전하에 대한 식에서 가우스 법칙 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}$을 써서 $\rho$ 대신 $\mathbf{E}$로 나타내면

$$W=\dfrac{\epsilon_{0}}{2} \int (\nabla \cdot \mathbf{E}) V d\tau$$

위 식은 부분적분법을 이용하여 아래와 같이 만들어 줄 수 있다.

$$W=\dfrac{\epsilon_{0}}{2} \left[ -\int \mathbf{E} \cdot (\nabla V)d\tau + \oint V\mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} \right]$$

$\nabla V=-\mathbf{E}$이므로

$$W= \dfrac{\epsilon_{0}}{2} \left[ \int _\mathcal{V} E^2 d\tau + \oint_\mathcal{S}V\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} \right]$$

이 때 적분 영역은 전하를 포함하는 영역이라면 어떤 영역이라도 상관없다. 어차피 전하가 없는 곳에서의 전하밀도는 $\rho=0$이므로 모든 전하를 포함하기만 하면 적분영역을 얼마든지 크게 잡아도 결과는 같다. 이때 첫번째 항을 보면 피적분함수가 양수이기 때문에 적분영역이 넓어지면 적분값은 계속 커진다. 전체 값은 $W$로 고정돼있기 때문에 첫번째 항의 크기가 커질수록 두번째 항인 면적분의 값은 계속 작아져야한다. 따라서 전체 공간에 대해서 적분하면

$$W=\dfrac{\epsilon_{0}}{2} \int_{\mathrm{total\ space}} E^2 d\tau$$