📂집합론

수학에서의 이항관계

정의 ¹

1. 두 집합 $X,Y$ 에 대해 $$R := \left\{ (x,y): x \in X , y \in Y \right\} \subset X \times Y$$ 를 (이항) 관계라고 정의하고 다음과 같이 나타낸다. $$(x,y) \in R \iff x R y$$
2. $x R y \iff y R^{-1} x$ 를 만족하는 $$R^{-1} : \left\{ (y,x): (x,y) \in R \right\}$$ 을 $R$ 의 역관계^inverse라고 한다.
3. 모든 $x \in X$ 에 대해 다음을 만족하는 $R \subset X^{2}$ 를 반사적^reflexive이라 한다. $$x R x$$
4. 모든 $x,y \in X$ 에 대해 다음을 만족하는 $R \subset X^{2}$ 를 대칭적^symmetric이라 한다. $$x R y \implies y R x$$
5. 모든 $x,y,z \in X$ 에 대해 다음을 만족하는 $R \subset X^{2}$ 를 추이적^transitive이라 한다. $$x R y \land y R z \implies x R z$$
6. 모든 $x,y \in X$ 에 대해 다음을 만족하는 $R \subset X^{2}$ 를 반대칭적^{antisymmetric}이라 한다. $$x R y \land y R x \implies x = y$$

설명

이항관계는 ‘어떤 것과 어떤 것이 어떤 관계를 갖는다’와 같이 애매한 표현이 아니라 데카르트 곱을 이용해 명료하게 정의될 수 있다. 관계란 정확히 데카르트 곱의 부분집합이며, $x R y$ 를 보고 ‘$x$ 는 $y$ 에 대해 어떠하다’라는 뜻으로 받아들이지 않도록 주의해야한다. 직관적으로 대강 무슨 말인지 알겠다고 넘어가고 개념을 정확히 잡지 않으면 ‘관계’가 등장할때마다 책 읽기가 어려워질 것이다.

특히 반사적이면서 대칭적이고 추이적인 이항관계를 동치관계라고 한다. 이 성질들은 수학 전반에서 몹시 중요하게 다뤄진다.

예시

이항관계와 역관계

함수 $f : X \to Y$ 는 모든 $x$ 에 대해서 $y = f(x)$ 를 만족하는 $y \in Y$ 가 존재하고 모든 $x_{1} , x_{2} \in X$ 에 대해 $$x_{1} = x_{2} \implies f(x_{1}) = f(x_{2})$$ 를 만족하는 이항관계다. 물론 그 역함수 $f^{-1}$ 가 존재한다면 $f^{-1}$ 는 관계 $f$ 의 역관계가 된다.

반사관계

반사적인 관계의 예시로써 등호 $=$ 는 $x=x$ 가 항상 성립한다.

대칭적인 관계

대칭적인 관계의 예시로써 독립 $\perp$ 는 $$X \perp Y \implies Y \perp X$$ 가 항상 성립한다.

추이적인 관계

추이적인 관계의 예시로써 부등호 $<$ 는 $$x < y \land y < z \implies x < z$$ 가 항상 성립한다.

반대칭적인 관계

반대칭적인 관계의 예시로써 포함관계 $\subset$ 는 $$A \subset B \land B \subset A \implies A = B$$ 가 항상 성립한다.