피타고리스 수 중 하나는 반드시 3의 배수여야한다
정의 1
자연수 가 를 만족할 때, 혹은 는 의 배수다.
설명
피타고라스 수 중 하나는 반드시 짝수일 뿐만이 아니라 적어도 하나는 의 배수라는 이야기를 할 수 있다.
증명
어떤 자연수 에 대해 자연수를 으로 나눈 나머지 에 따라 세가지로 나눠 생각해보자.
Case 1. 나머지가 인 경우 이므로 제곱수의 나머지가 이다.
Case 2. 나머지가 인 경우 이므로 역시 제곱수의 나머지가 이다.
Case 3. 나머지가 인 경우
의 배수는 제곱했을 때도 여전히 으로 나누어 떨어진다.
즉, 모든 제곱수 은 으로 나누었을 때 나머지가 이거나 이다.
만약에 와 모두 의 배수가 아니라고 가정하면, 와 모두 나머지가 이다. 따라서 를 으로 나눈 나머지는 가 된다. 하지만 앞서 모든 제곱수는 으로 나누었을 때 나머지가 일 수 없음을 보였으므로, 이는 모순이다. 고로 혹은 가 의 배수가 되어야한다.
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Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p18. ↩︎