체비셰프 미분방정식의 급수해: 체비셰프 다항식
정의
다음의 미분방정식을 체비셰프Chebyshev 미분방정식이라 한다.
$$ (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -x\dfrac{dy}{dx}+n^2 y=0 $$
설명
체비셰프는 러시아 사람이라 이름 표기가 제각각이다. 네이버에서는 체비쇼프라고 검색해야 해당 인물이 나오고, 대한수학회에서는 체비셰프라고 한다.
계수에 독립변수 $x$가 포함된 형태이며, 해가 멱급수 꼴이라고 가정하면 풀 수 있다. 체비셰프 방정식의 해를 체비셰프 다항식이라고하며 해를 흔히 $T_{n}(x)$로 표기한다.
풀이
$$ \begin{equation} (1-x^2)y^{\prime \prime} -xy^{\prime}+\lambda^2 y=0 \label{1} \end{equation} $$
위와 같이 주어진 체비셰프 미분방정식의 해를 다음과 같다고 가정하자.
$$ y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n $$
이 때 $x=0$일 때 $y^{\prime \prime}$의 계수가 $(1-x^2)|_{x=0}=1\ne 0$이므로 $x_{0}=0$으로 두자. 그러면
$$ \begin{equation} y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n \label{2} \end{equation} $$
급수해로 가정하고 풀이를 시작하지만 풀이의 끝부분에서 사실 $y$의 항이 유한함을 알게 된다. 이제 $\eqref{1}$에 대입하기 위해 $y^{\prime}$와 $y^{\prime \prime}$를 구해보자.
$$ y^{\prime}=a_{1}+2a_2x+3a_{3}x^2+\cdots=\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1} $$
$$ y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+4\cdot 3 a_{4}x^2 +\cdots = \sum \limits_{n=2} n(n-1)a_{n}x^{n-2} $$
$\eqref{1}$에 $y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}$를 대입하면 다음과 같다.
$$ (1-x^2)\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
첫째항의 계수$(1-x^2)$의 괄호를 풀어서 정리하면
$$ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x^2\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0 $$
$$ \implies \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0 $$
여기서 핵심은 $x$의 차수를 맞춰주는 것이다. 나머지는 모두 $x^n$으로 표현된 반면 첫번째 급수만 $x^{n-2}$로 표현됐으므로 $n$ 대신 $n+2$를 대입하면
$$ \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
두번째 급수가 $x^2$항부터 시작하므로 나머지 급수에서 $n=0,1$인 항을 밖으로 빼주고 상수항은 상수항끼리, 1차항은 1차항끼리 묶어주면
$$ \left[ 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} \right]+\left[ 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} \right]x \\ + \sum \limits_{n=2}^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n} \right] x^n=0 $$
위의 식이 성립하려면 모든 계수가 $0$이어야 한다.
$$ 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} = 0 $$
$$ 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} =0 $$
$$ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n}=0 $$
각각을 정리하면
$$ \begin{align} a_2 &= -\dfrac{\lambda^2}{2 \cdot 1}a_{0} \label{3} \\ a_{3} &=-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3\cdot 2} a_{1} \label{4} \\ a_{n+2} &= -\dfrac{\lambda^2-n^2}{(n+2)(n+1)}a_{n} \label{5} \end{align} $$
점화식 $\eqref{5}$를 얻었으므로 $a_{0}$와 $a_{1}$값만 알면 모등 계수를 알 수 있다. $\eqref{3}, \eqref{5}$로부터 짝수차수항의 계수를 구하면
$$ \begin{align*} a_{4} &= -\dfrac{\lambda^2-2^2}{4\cdot 3}a_2=\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0} \\ a_{6} &= -\dfrac{\lambda^2-4^2}{6\cdot 5}a_{4}= -\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)(\lambda^2-4^2)}{6!}a_{0} \\ &\vdots \end{align*} $$
여기서 $n=2m (m=1,2,3,\cdots)$이라 하면
$$ a_{n}=a_{2m}=(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0} $$
마찬가지로 $\eqref{4}, \eqref{5}$로부터 홀수차수항의 계수를 구하면
$$ \begin{align*} a_{5} &= -\dfrac{\lambda^2-3^2}{5\cdot 4}a_{3}=\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1} \\ a_{7} &= -\dfrac{\lambda^2-5^2}{7\cdot 6 }a_{5}=-\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)(\lambda^2-5^2)}{7!}a_{1} \\ &\vdots \end{align*} $$
여기서 $n=2m+1 (m=1,2,3,\cdots)$이라 하면
$$ a_{n}=a_{2m+1}=(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1} $$
이렇게 구한 계수를 $\eqref{2}$에 대입해서 해를 구하면
$$ \begin{align*} y = &a_{0}+a_{1}x -\dfrac{\lambda^2}{2!}a_{0}x^2-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!} a_{1}x^3 + \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0}x^4 \\ &+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1}x^5+ \cdots +(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0}x^{2m} \\ &+(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1}x^{2m+1}+\cdots\quad(m=1,2,3,\cdots) \end{align*} $$
이때 짝수차수항은 $a_{0}$로, 홀수차수항은 $a_{1}$로 묶어서 정리하면
$$ \begin{align*} y&=a_{0}\left[1-\dfrac{\lambda^2}{2!}x^2+\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}x^4+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!} x^{2m} + \cdots \right] \\ & + a_{1}\left[x-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!}x^3+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}x^5+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!} x^{2m+1} + \cdots\right] \end{align*} $$
첫번째 괄호를 $y_{0}$, 두번째 괄호를 $y_{1}$이라 하면 체비셰프 방정식의 일반해는 다음과 같다.
$$ y=a_{0}y_{0}+a_{1}y_{1} $$
두 급수 $y_{0}$와 $y_{1}$은 비율 판정법에 의해 $|x|<1$의 구간에서 수렴한다는 것을 알 수 있다. $\eqref{5}$에 의해 $\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}$이므로 비율 판정법을 쓰면
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}x^2=x^2<1 $$
$$ \implies -1<x<1 $$
하지만 많은 문제에서 $x=\cos \theta$, $\lambda$는 음이 아닌 정수의 형태로 식이 나타나고 모든 $\theta$에 대해 수렴하는 해를 얻고자 한다. 즉, $x=\pm 1$에서도 수렴하는 해를 찾는 것이 목표다. 다행히 $\lambda$가 정수일 때는 원하는 해가 존재하는데 이때 $\lambda$의 값에 따라서 반드시 $y_{0}, y_{1}$ 둘 중 하나의 해만 존재한다. $\lambda$가 $0$이거나 짝수일 때는 $y_{1}$이 발산하고, $y_{0}$은 짝수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. $\lambda$가 홀수이면 $y_{0}$가 발산하고, $y_{1}$은 홀수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. 표로 정리하면 아래와 같다.
| $\lambda$값 | $y_{0}$ | $y_{1}$ | 방정식의 해 |
|---|---|---|---|
| $0$이거나 짝수 | 유한항의 다항식 | 발산 | $y=a_{0}y_{0}$ |
| 홀수 | 발산 | 유한항의 다항식 | $y=a_{1}y_{1}$ |
Case 1. $\lambda$가 $0$이거나 짝수
$\lambda=0$일때, 2차항부터 $\lambda^2$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{0}=1$
$\lambda=2$일때, 4차항부터 $(\lambda^2-2^2)$를 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{0}=1-x^2$
$\lambda=4$일때, 6차항부터 $(\lambda^2-4^2)$를 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{0}=1-8x^2+8x^4$
그리고 $\lambda=0$일 때 $x=1$에서 $y_{1}=1+\frac{1}{3!}+\frac{1\cdot3^2}{5!}+\cdots$인데 이는 발산한다. 다른 짝수일 때도 마찬가지다. 따라서 $\lambda$가 $0$이거나 짝수일 때는 해가 짝수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 $y_{0}$의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다. $\lambda$가 홀수일 때는 반대의 결과를 얻는다.
Case 2. $\lambda$가 홀수
$\lambda=1$일때, 3차항부터 $(\lambda^2-1^2)$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{1}=x$
$\lambda=3$일때, 5차항부터 $(\lambda^2-3^2)$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{1}=-3x+4x^3$
$\lambda=5$일때, 7차항부터 $(\lambda^2-5^2)$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{1}=5x-20x^3+16x^5$
$\lambda=1$일 때 $x^2=1$에서 $y_{0}$는 발산하고 다른 홀수일 때도 마찬가지다. 따라서 $\lambda$이 홀수일 때는 해가 홀수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 $y_{1}$의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다.
그리고 $\lambda$가 음수인 경우는 $\lambda$가 양수인 경우와 같다는 것을 $y_{0}$과 $y_{1}$을 살펴보면 알 수 있다. 예를 들어 $\lambda=2$인 경우와 $\lambda=-2$인 경우가 같고, $\lambda=1$인 경우와 $\lambda=-1$인 경우가 같다. 따라서 $\lambda$는 음이 아닌 정수의 범위에서만 생각해주면 된다. $a_{0}$와 $a_{1}$의 값을 잘 선택하여 $x=1$일 때 해가 $y(x)=1$이 되도록 만들면 이를 체비셰프 다항식Chebyshev polynomial이라 하고 흔히 $T_{n}(x)$라 표기한다. 처음 몇 개의 체비셰프 다항식은 아래와 같다.
$$ \begin{align*} T_{0}(x) &= 1 \\ T_{1}(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2-1 \\ T_{3}(x) &= 4x^3-3x \\ T_{4}(x) &= 8x^4-8x^2+1 \\ T_{5}(x) &= 16x^5-20x^3+5x \\ \vdots & \end{align*} $$