📂전자기학

속박전류밀도와 자화된 물체가 만드는 벡터 전위 자기장

설명¹

외부 자기장에 의해 자화된 물체가 있다고 하자. 이 물체는 자화밀도 $\mathbf{M}$을 가질 것이고 이 자화밀도에 의해 새로운 자기장이 생길 것이다. 하나의 자기 쌍극자가 만드는 벡터 전위는 다음과 같다.

$$\mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{\mathbf{m} \times \crH }{\cR ^2}$$

자화밀도는 단위부피당 쌍극자 모멘트이므로 $\mathbf{M}=\dfrac{\mathbf{m}}{d\tau}$이다. 이를 위 식에 대입하고 전체 부피에 대해서 적분해서 자화된 물체가 만드는 벡터 전위를 구하면 다음과 같다.

$$\mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int\dfrac{ \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH }{\cR ^2} d \tau^{\prime}$$

이때 분리벡터의 기울기는 $\nabla^{\prime} \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{\crH}{\cR^2}$이므로

$$\mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \nabla^{\prime}\dfrac{1}{\cR} d \tau^{\prime}$$

델 연산자가 포함된 곱셈규칙

$$\nabla \times (f \mathbf{A})=(\nabla f)\times \mathbf{A} + f(\nabla \times A) \implies \mathbf{A} \times (\nabla f) = f(\nabla \times \mathbf{A}) -\nabla \times ( f\mathbf{A})$$

적분 안의 외적에 곱셈규칙을 적용하면 다음을 얻는다.

$$\mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\cR}\left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} - \int \nabla^{\prime} \times \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\cR}d \tau^{\prime}\right]$$

이다. 여기서 두번째 항을 바꿔주기 위해 가우스 정리를 사용한다.

가우스 정리(발산 정리)

$$\int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}$$

그러면 식은 아래와 같다.

$$\mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\cR} \left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} + \oint \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\cR} \times d \mathbf{a}^{\prime}\right]$$

여기서 첫번째 항은 부피전류밀도 $\mathbf{J}_{b}$에 의해 생기는 전위라 볼 수 있다. 아래첨자 $b$는 bound의 약자이다.

$$\mathbf{J}_{b}=\nabla \times \mathbf{M}$$

두번째 항은 표면전류밀도 $\mathbf{K}_{b}$에 의해 생기는 전위라 볼 수 있다.

$$\mathbf{K}_{b}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}$$

여기서 $\hat{\mathbf{n}}$은 각 표면에 수직한 단위법선벡터이다. 이제 벡터전위를 속박전류밀도로 나타내면 아래와 같다.

$$\mathbf{A} (\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_\mathcal{V} \dfrac{\mathbf{J}_{b}(\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}d\tau^{\prime}+\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\oint_\mathcal{S}\dfrac{\mathbf{K}_{b} (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}da^{\prime}$$

따라서 자화된 물체가 만드는 벡터 전위는 물체 속의 부피전류밀도 $\mathbf{J}_{b}=\nabla \times \mathbf{M}$과 물체 겉의 표면전류밀도 $\mathbf{K}_{b}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}$가 만드는 전위와 같다. 이는 속박전하 $\rho_{b}$와 $\sigma_{b}$를 정의하여 편극된 물체가 만드는 전위를 표현한 것과 같다.