📂전자기학

외부 자기장에 의한 전자 궤도의 변화와 반자성

설명¹

핵 주위를 반지름 $R$로 공전하고 있는 전자가 있다고 하자. 움직이는 점전하는 정상전류가 되지 않지만 그 속도가 너무 빠르기 때문에 정상전류처럼 보인다 . 주기는 이동거리를 속도로 나눈 것이므로

$$ T=\dfrac{2\pi R}{v} $$

전류 $I$는 단위시간당 지나가는 전하량이고 전자는 궤도 위의 어느 한 점을 한 주기에 한 번 지나가므로

$$ I=\dfrac{-e}{T}=-\dfrac{ev}{2 \pi R} $$

따라서 이 전자 궤도의 자기 쌍극자 모멘트는

$$ \mathbf{m}=I\pi R^{2}=-\dfrac{1}{2}evR \hat{\mathbf{z}} $$

이때 외부 자기장 $\mathbf{B}$가 있으면 회전력을 받지만 궤도를 기울이는 것은 매우 힘들기 때문에 전자의 궤도운동에 의한 자기 쌍극자는 상자성에 크게 기여하지 못한다. 여기에서 중요하게 나타나는 효과는 외부 자기장의 방향에 따라 전자의 속도가 변한다는 것이다.

전자가 점 $P$에 있을 때 받는 힘의 운동방정식을 생각해보자. $Q$을 제외한 모든 점에서 받는 전기력은 서로 상쇄되므로 점 $Q$에서 받는 전기력만 생각하면 된다. 그리고 원운동하는 물체가 받는 구심력은 질량*속도$^{2}$*반지름$^{-1}$이다. 두 힘의 방향은 원의 중심을 향하므로 간단하게 크기만 표현하면

$$ \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\dfrac{e^{2}}{R^{2}}=m_{e}\dfrac{v^{2}}{R} $$

이때 $m_{e}$는 전자의 질량이고 쌍극자 모멘트 $m$과 헷갈리지 말자. 외부 자기장이 있다면 좌변에 자기력에 대한 항 $-e(\mathbf{v} \times \mathbf{B} )$가 추가된다. 이 힘의 방향도 원의 중심을 향하도록 하기 위해 아래 그림처럼 외부 자기장이 전자의 운동 궤도면과 수직하다고 가정하자. 자기장에 의한 항까지 넣은 운동 방정식은 아래와 같다.

$$ \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{e^{2}}{R^{2}}+e\bar{v}B=m_{e}\dfrac{{\bar{v}}^{2}}{R} $$

자기력에 관한 항이 없이 나타낸 운동방정식을 위의 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ m_{e}\dfrac{v^{2}}{R}+e\bar{v}B=m_{e}\dfrac{{\bar{v}}^{2}}{R} \\[1em] \implies e\bar{v}B=\dfrac{m_{e}}R({\bar{v}}^{2}-v^{2})=\dfrac{m_{e}}{R}(\bar{v}+v)(\bar{v}-v) $$

속력의 변화량을 $\Delta v=\bar{v}-v$라 하자. 변화량이 작다면 $\bar{v} \approx v$ 이므로 위의 식은 아래와 같다.

$$ evB = \dfrac{2vm_{e}}{R}\Delta v \\ \implies \Delta v = \dfrac{eRB}{2m_{e}} $$

글 상단에서 전자 궤도의 쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}$을 속도에 관한 식으로 나타냈다. 따라서 속도가 변하면 쌍극자 모멘트도 변하고 그 변화량은 다음과 같다.

$$ \Delta \mathbf{m} = -\dfrac{1}{2}e ( \Delta v)R\hat{\mathbf{z}}=-\dfrac{e^{2}R^{2}}{4m_{e}}\mathbf{B} $$

쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}$의 변화가 외부 자기장 $\mathbf{B}$의 방향과 반대 라는 중요한 사실을 알 수 있다. 즉 반자성이 생기는 것이다. 이는 모든 원자에서 일어나는 일반적인 현상이지만 상자성에 비해 효과가 훨씬 약하므로 전자의 수가 짝수라 상자성이 나타나지 않는 원자에서만 관찰된다.