📂바나흐공간

바나흐 고정점 정리 증명

정의

• $(X, \left\| \cdot \right\|)$를 바나흐 공간이라고 하자. 모든 $x, \tilde{x} \in X$ 와 $0 \le r < 1$ 에 대해 $\| T(x) - T ( \tilde{x} ) \| \le r \| x - \tilde{x} \|$ 를 만족하는 $T : X \to X$ 를 축소 사상^{contraction mapping}이라 정의한다.

• $T ( \alpha ) = \alpha$ 를 만족하는 $\alpha \in X$를 고정점이라 한다.

정리 ¹

$T$의 고정점은 유일하게 존재한다.

설명

바나흐 고정점 정리는 축소 사상 정리^{contraction mapping theorem}라도 불리며, 힐베트르 공간을 상정하는 편미분방정식의 풀이나 주로 $\mathbb{R}^{n}$ 상에서의 메소드를 다루는 수치해석에서 요긴하게 쓰일 수 있다.

사실 증명에서 놈 자체는 필요하지는 않기 때문에 $X$는 바나흐 공간이 아니라 완비 거리공간에 대해 일반화 될 수 있다. 거리공간의 $(X , d)$ 의 거리를 $d (x,y) := \| x - y \|$ 와 같이 정의하면 정확히 같은 증명이 된다.

증명

• Part 1. $T$ 의 연속성

  $\displaystyle \delta := {{\varepsilon} \over {2}}$ 이라고 하면

  $$ \| x - \tilde{x} \| < \delta = {{ \varepsilon } \over { 2 r }} $$

  $$ \implies \| T(x) - T ( \tilde{x} ) \| \le r \| x - \tilde{x} \| = {{\varepsilon } \over {2}} < \varepsilon $$

  따라서 $T$ 는 $X$ 에서 연속함수다.

• Part 2. $\alpha$ 의 존재성

  시퀀스 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 $x_{n+1} := T ( x_{n} )$ 과 같이 정의하자. 그러면

  $$ \| x_{n} - x_{n-1} \| = \| T(x_{n-1} )- T(x_{n-2}) \| = r \| x_{n-1} - x_{n-2} \| $$

  재귀적으로 풀어내면

  $$ \begin{align*} \| x_{n} - x_{n-1} \| =& r \| x_{n-1} - x_{n-2} \| \\ =& r^2 \| x_{n-2} - x_{n-3} \| \\ \vdots& \\ =& r^{n-1} \| x_{1} - x_{0} \| \end{align*} $$

  이제 $n, m, k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $n = m + k$ 라고 하면 삼각부등식에 의해

  $$ \begin{align*} \| x_{n} - x_{m} \| =& \| x_{m+k} - x_{m} \| \\ \le & \| x_{m+k} - x_{m+(k-1) } \| + \cdots + \| x_{m+k} - x_{m+(k-1) } \| \\ \le & \| x_{m+1} - x_{m } \| \left( 1 + r + \cdots + r^{k} \right) \\ \le & \| x_{m+1} - x_{m } \| {{1 - r^{k}} \over {1 - r}} \\ \le & \| x_{m+1} - x_{m } \| {{1 } \over {1 - r}} \\ \le & {{ r^{m-1} } \over {1 - r}} \| x_{1} - x_{0} \| \end{align*} $$

  따라서 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 코시 시퀀스다. $X$ 는 바나흐 공간이므로, $n \to \infty$ 일 때 $x_{n}$ 는 어떤 $\alpha \in X$ 로 수렴함을 알 수 있다. 위의 Part 1. 에서 $T$ 는 연속이므로

  $$ \begin{align*} T ( \alpha ) =& T \left( \lim_{n \to \infty } x_{n} \right) = \lim_{n \to \infty } T(x_{n} ) \\ =& \lim_{n \to \infty } x_{n+1} \\ =& \alpha \end{align*} $$

  이고, $\alpha$ 는 $T$ 의 고정점이다.

• Part 3. $\alpha$ 의 유일성

  $\beta \in X$ 또한 $T$ 의 고정점이라고 하자.

  $$ \| \alpha - \beta \| \le \| T( \alpha ) - T ( \beta ) \| \le r \| \alpha - \beta \| $$

  $$ \implies (1 - r ) \| \alpha - \beta \| \le 0 $$

  $$ \implies \| \alpha - \beta \| \le 0 $$

  $$ \implies \alpha = \beta $$

  따라서 $T$ 의 고정점 $\alpha \in X$ 는 유일하다.

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혹은 바나흐 공간은 거리 공간이므로 하우스도르프 공간이고, 하우스도르프 공간에서는 시퀀스가 유일하게 수렴한다고 해도 좋다.