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음이항 분포의 평균과 분산 📂확률분포론

음이항 분포의 평균과 분산

공식

XNB(r,p)X \sim \text{NB}(r, p)E(X)=r(1p)pVar(X)=r(1p)p2 E(X) = {{ r (1-p) } \over { p }} \\ \operatorname{Var}(X) = {{ r (1-p) } \over { p^{2} }}

증명

전략: 음이항 분포기하 분포의 일반화라는 점을 이용한다.

  • [b] 기하분포의 일반화: Y=X1++XrY = X_{1} + \cdots + X_{r} 이고 XiiidGeo(p)X_{i} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Geo}(p)YNB(r,p)Y \sim \text{NB}(r,p)

이 때 기하 분포의 정의는 음이항 분포와 마찬가지로 그 서포트가 S={0,1,2,}\mathcal{S} = \left\{ 0 , 1 , 2, \cdots \right\} 와 같이 되도록 둔다.

기하 분포의 평균과 분산: XGeo(p)X \sim \text{Geo} (p)E(X)=1ppVar(X)=1pp2 E(X) = {{ 1-p } \over { p }} \\ \operatorname{Var}(X) = {{ 1-p } \over { p^{2} }}

평균

Y=X1+X2++XrY=X_1+X_2+\cdots+X_r 이므로 E(Y)=E(X1)+E(X2)++E(Xr)=i=1rE(Xi)=r(1p)p \begin{align*} E(Y) =& E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_r) \\ =& \sum_{i=1}^{r} E(X_i) \\ =& { {r(1-p)} \over p } \end{align*} YNB(r,p)Y \sim \text{NB} (r,p) 이므로 E(Y)=r(1p)p\displaystyle E(Y) = { {r(1-p)} \over p }

분산

Y=X1+X2++XrY=X_1+X_2+\cdots+X_r 이고 X1,X2,,XrX_1, X_2, \cdots , X_r상호 독립이므로 공분산은 00 이다. Var(Y)=Var(X1)+Var(X2)++Var(Xr)=i=1rVar(Xi)=r(1p)p2 \begin{align*} Var(Y) =& Var(X_1)+Var(X_2)+\cdots+Var(X_r) \\ =& \sum_{i=1}^{r} Var(X_i) \\ =& \frac { r(1-p) }{ { p }^{ 2 } } \end{align*} YNB(r,p)Y \sim \text{NB} (r,p) 이므로 Var(Y)=r(1p)p2\displaystyle Var(Y) = \frac { r(1-p) }{ { p }^{ 2 } }