음이항 분포의 평균과 분산
📂확률분포론음이항 분포의 평균과 분산
공식
X∼NB(r,p) 면
E(X)=pr(1−p)Var(X)=p2r(1−p)
증명
전략: 음이항 분포가 기하 분포의 일반화라는 점을 이용한다.
- [b] 기하분포의 일반화: Y=X1+⋯+Xr 이고 Xi∼iidGeo(p) 면 Y∼NB(r,p)
이 때 기하 분포의 정의는 음이항 분포와 마찬가지로 그 서포트가 S={0,1,2,⋯} 와 같이 되도록 둔다.
기하 분포의 평균과 분산: X∼Geo(p) 면
E(X)=p1−pVar(X)=p21−p
평균
Y=X1+X2+⋯+Xr 이므로
E(Y)===E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xr)i=1∑rE(Xi)pr(1−p)
Y∼NB(r,p) 이므로 E(Y)=pr(1−p)
■
분산
Y=X1+X2+⋯+Xr 이고 X1,X2,⋯,Xr 이 상호 독립이므로 공분산은 0 이다.
Var(Y)===Var(X1)+Var(X2)+⋯+Var(Xr)i=1∑rVar(Xi)p2r(1−p)
Y∼NB(r,p) 이므로 Var(Y)=p2r(1−p)
■