삼각함수의 정의를 이용한 제2코사인 법칙 증명
공식
위와 같이 주어진 삼각형에 대해서 다음의 식들이 성립하고, 이를 묶어 제2 코사인 법칙law of cosines이라 한다.
$$ \begin{cases} a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma \end{cases} $$
증명
그림의 좌상단 삼각형으로부터 아래의 식을 얻는다.
$$ \begin{align} a &= \overline{BH_{a}}+\overline{H_{a}C} \nonumber \\ &= c\cos\beta + b\cos\gamma \label{eq1} \end{align} $$
양변에 $a$를 곱하면 다음과 같다.
$$ a^{2}=ac\cos\beta + ab\cos \gamma $$
$b$와 $c$에 대해서도 마찬가지로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
$$ \begin{align} && b &= \overline{AH_{b}}+\overline{H_{b}C} \nonumber \\ && &= c\cos\alpha + a\cos\gamma \label{eq2} \\ && \implies b^{2}&=bc\cos\alpha + ab\cos\gamma \nonumber \end{align} $$
$$ \begin{align} &&c &= \overline{AH_{c}}+\overline{H_{c}B} \nonumber \\ && &= b\cos\alpha + a\cos\beta \label{eq3} \\ \implies &&c^{2}&=bc\cos\alpha + ac\cos\beta \nonumber \end{align} $$
따라서 아래의 결과를 얻는다.
$$ \begin{align*} b^{2}+c^{2} &= (bc\cos\alpha + ab\cos\gamma) + (bc\cos\alpha + ac\cos\beta) \\ &= (ab\cos\gamma+ ac\cos\beta)+2bc\cos\alpha \\ &= a^{2}+2bc\cos\alpha \end{align*} $$
$a^{2}$에 대해서 정리하면 다음과 같다.
$$ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha $$
$b^{2}$, $c^{2}$에 대해서도 같은 방식으로 증명할 수 있다.
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$\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$, $\eqref{eq3}$을 묶어 제1 코사인 법칙이라 부르기도 한다.