르장드르 다항식의 직교성
정리
구간 $[-1,\ 1]$에서 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다.
$$ \int_{-1}^{1} P_{l}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} \quad (l, m = 0, 1, 2, \dots) $$
증명
Case 1: $l \ne m$
다음의 미분방정식을 르장드르 미분방정식이라 한다.
$$ \dfrac{d}{d x}\left[ (1-x)^{2} \dfrac{d y}{d x} \right] +l(l+1)y = 0 $$
르장드르 다항식은 드장드르 미분방정식의 해이므로 위의 식을 만족한다. 식에 $P_{l}$과 $P_{m}$을 대입하면,
$$ \begin{align*} \dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)P^{\prime}_{l}(x) \right] + l(l+1)P_{l}(x) &= 0 \\ \dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)P^{\prime}_{m}(x) \right] + m(m+1)P_{m}(x) &= 0 \end{align*} $$
두 식에 각각 $P_{m}(x)$, $P_{l}(x)$를 곱하고 빼면 다음을 얻는다.
$$ \begin{equation} P_{m}\dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2)P^{\prime}_{l} \right] - P_{l}\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{m}] + [l(l+1)-m(m+1)]P_{l}P_{m} = 0 \end{equation} $$
한편 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} & \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)(P_{m}P^{\prime}_{l}-P_{l}P^{\prime}_{m})] \\ &= \dfrac{d}{dx}[{\color{blue}(1-x^2)P^{\prime}_{l}}P_{m}] -\dfrac{d}{dx}[{\color{blue}(1-x^2)P^{\prime}_{m}}P_{l}] \end{align*} $$
여기서 파란색으로 칠한 부분을 하나의 함수라고 생각하고 곱의 미분법으로 식을 전개하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} & \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{l}]P_{m}+(1-x^2)P^{\prime}_{l}P^{\prime}_{m}-\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{m}]P_{l}-(1-x^2)P^{\prime}_{m}P^{\prime}_{l} \\ &= \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{l}]P_{m}-\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P^{\prime}_{m}]P_{l} \end{align*} $$
이는 $(1)$의 첫 두항과 같다. 따라서 $(1)$을 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$ \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)(P_{m}P^{\prime}_{l}-P_{l}P^{\prime}_{m})]+ [l(l+1)-m(m+1)]P_{l}P_{m}=0 $$
양변을 구간 $[-1, 1]$에 대해서 적분하면,
$$ (1-x^2)(P_{m}P^{\prime}_{l}-P_{l}P^{\prime}_{m})\Big|_{-1}^{1} +[l(l+1)-m(m+1)]\int_{-1}^{1}P_{l}(x)P_{m}(x)dx=0 $$
첫 항은 $(1-x^2)\Big|_{x = \pm 1}=0$이므로 $0$이다. $l, m$의 조건에 의해 두번째 항에서 적분 앞의 상수는 절대 $0$이 될 수 없다. 그러므로 다음을 얻는다.
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)P_{m}(x)dx=0 $$
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Case 2: $l = m$
$$ lP_{l}(x) = xP^{\prime}_{l}(x) - P^{\prime}_{l-1}(x) $$
위의 식에 양변에 $P_{l}(x)$를 곱하고 적분하면,
$$ \begin{equation} l\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx= \int_{-1}^{1}xP_{l}(x)P^{\prime}_{l}(x)dx -\int_{-1}^{1} P_{l}(x)P^{\prime}_{l-1}(x)dx. \end{equation} $$
여기서 $P^{\prime}_{l-1}(x)$는 $l-2$차 다항식이고, 르장드르 다항식은 자신보다 차수가 낮은 다항식과 직교하므로 우변의 마지막항은 $0$이다. 우변의 첫째항은 부분적분 으로 풀 수 있다.
$$ \begin{align} \int_{-1}^{1}xP_{l}(x)P^{\prime}_{l}(x)dx &= \int_{-1}^{1}\frac{ x}{2}[2P_{l}(x)P^{\prime}_{l}(x)]dx \nonumber \\ &= \frac{ x}{2}[P_{l}(x)]^{2}\bigg|_{-1}^{1}-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \nonumber \\ &= 1-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx. \end{align} $$
세번째 등식은 $P_{l}(1)=1$에 의해 성립한다. 따라서 $(3)$을 $(2)$에 대입하면,
$$ \begin{align*} && l\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx &= 1-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \\ \implies && \int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx &= \frac{2}{2l+1} \end{align*} $$
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