푸리에 급수 유도
정의
$2L$-주기함수 $f$에 대해서 다음과 같은 급수를 $f$의 푸리에 급수Fourier series of $f$라고 정의한다.
$$ \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*} $$
이때 각각의 계수 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$을 푸리에 계수Fourier coefficient라고 하며 값은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$
설명
푸리에 급수는 임의의 함수를 삼각함수의 급수전개로 표현한 것으로, 프랑수 수학자 조제프 푸리에Joseph Fourier가 열 방정식을 풀기 위해서 고안한 것으로 잘 알려져있다. 임의의 함수라고 표현한 이유는 어떤 구간 $(a,b)$에서 정의된 함수가 있다면 이를 Ctrl+C, Ctrl+V해서 $(b-a)$-주기함수로 만들어줄 수 있기 때문이다.
핵심 원리는 서로 수직인 삼각함수들의 선형결합으로 나타낸다는 것인데 3차원 벡터로 비유하면 $(4,-1,7)$를 다음과 같이 쪼개는 것과 같다.
$$ (4,-1,7) = a_{1}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{2}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{3}\hat{\mathbf{e}}_{1} $$
실제로 $f$의 푸리에 급수는 $f$와 오차가 아주 적은 것은 물론이고 조건이 잘 갖춰지면 $f$로 점별 수렴한다.
$$ f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L}t + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) $$
유도
회귀분석1
Part 1
함수 $f(t)$를 $1, \cos \dfrac{\pi t}{L}, \cos\dfrac{2\pi t}{L}, \cdots, \sin \dfrac{\pi t}{L}, \sin \dfrac{2\pi t}{L}, \cdots $들의 선형결합으로 나타내고자 하는게 목적이다. 따라서 $S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)$라고 할 때 $f(t)$를 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$ f(t)=S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t) $$
$e_{N}(t)$는 $f(t)$와 근사식 $S_{N}^{f} (t)$의 차이이다. 이 차이가 가장 작게되는 $S_{N}^{f}(t)$를 찾으면 그것이 $f(t)$와 차이가 가장작은 급수전개가 될 것이다. $e_{N}$을 평균제곱오차mean square error2로 두자.
$$ e_{N}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} [e_{N}(t) ]^{2}dt=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N} (t) \right]^{2} dt $$
Part 2
$$ \begin{align*} e_{N} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N}(t) \right]^{2} dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \end{align*} $$
평균제곱오차 $e_{N}$이 최소가 될 때의 계수 $\alpha_{0},\ \alpha_{n},\ \beta_{n}$를 각각 $a_{0}$, $a_{n}$, $b_{n}$이라 하자. $e_{N}$을 최소화하는 조건들은 다음과 같으며 정규 방정식normal equation이라 한다.
$$ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{n}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{n}}=0\quad (m=1,\ 2,\ \cdots,\ N) $$
그러면 $a_{0}$, $a_{n}$, $b_{n}$은 아래와 같이 구할 수 있다.
Part 2.1 $a_{0}$
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{0}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{-1}{2} \cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_ {N} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac {n\pi t}{L} \right) \right] dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt +\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \sum \limits_ {n=1}^{N}\left( \alpha_{n}\cos \dfrac{n\pi t}{L}+\beta_{n} \sin \dfrac{n \pi t}{L} \right) dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt +\dfrac{1}{2}\alpha_{0} \\ &= 0 \end{align*} $$
네번째 등호는 삼각함수의 한 주기 적분이 $0$이므로 성립한다. 따라서
$$ a_{0} = \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L}f(t)dt $$
Part 2.2 $a_{n}$
어떤 $m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}$을 하나 선택하자.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \cos \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad + \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \cos\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\alpha_{m} \int_{-L}^{L}\cos\dfrac{m\pi t}{L}\cos\dfrac{m\pi t} {L} dt\\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \alpha_{m} \\ &= 0 \end{align*} $$
네번째, 다섯번째 등호는 삼각함수의 직교성 에 의해 성립한다. 따라서
$$ a_{n}= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \quad (n=1, 2, \cdots, N) $$
Part 2.3 $b_{n}$
어떤 $m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}$을 하나 선택하자.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \beta_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \sin \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad +\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \sin\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\beta_{m} \int_{-L}^{L}\sin\dfrac{m\pi t}{L}\sin\dfrac{m\pi t} {L} dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \beta_{m} \\ &=0 \end{align*} $$
네번째, 다섯번째 등호는 삼각함수의 직교성에 의해 성립한다. 따라서
$$ b_{n}=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \quad (n=1, 2, \cdots, N) $$
Part 3 이제 위에서 얻은 $a_{0}$, $a_{n}$, $b_{n}$으로 $f(t)$를 표현하면 같다.
$$ \begin{align*} f(t) &= S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t) \\[1em] \text{where } S^{f}_{N}(t) &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$
$N$에 대해서 극한을 취하면
$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_{N}^{f} (t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n} \sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) $$
위의 급수를 $f$의 푸리에 급수 라 하고 $a_{0}$, $a_{n}$, $b_{n}$을 $f$의 푸리에 계수 라 한다.
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