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푸리에 급수 유도 📂푸리에해석

푸리에 급수 유도

정의

2L2L-주기함수 ff에 대해서 다음과 같은 급수를 ff의 푸리에 급수Fourier series of ff라고 정의한다.

lim⁡N→∞SNf(t)=lim⁡N→∞[a02+∑n=1N(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)]=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*}

이때 각각의 계수 a0,an,bna_{0}, a_{n}, b_{n}을 푸리에 계수Fourier coefficient라고 하며 값은 다음과 같다.

a0=1L∫−LLf(t)dtan=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdtbn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*}

설명

푸리에 급수는 임의의 함수를 삼각함수의 급수전개로 표현한 것으로, 프랑수 수학자 조제프 푸리에Joseph Fourier가 열 방정식을 풀기 위해서 고안한 것으로 잘 알려져있다. 임의의 함수라고 표현한 이유는 어떤 구간 (a,b)(a,b)에서 정의된 함수가 있다면 이를 Ctrl+C, Ctrl+V해서 (b−a)(b-a)-주기함수로 만들어줄 수 있기 때문이다.

핵심 원리는 서로 수직인 삼각함수들의 선형결합으로 나타낸다는 것인데 3차원 벡터로 비유하면 (4,−1,7)(4,-1,7)를 다음과 같이 쪼개는 것과 같다.

(4,−1,7)=a1e^1+a2e^1+a3e^1 (4,-1,7) = a_{1}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{2}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{3}\hat{\mathbf{e}}_{1}

실제로 ff의 푸리에 급수는 ff와 오차가 아주 적은 것은 물론이고 조건이 잘 갖춰지면 ff로 점별 수렴한다.

f(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtLt+bnsin⁡nπtL) f(t) = \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L}t + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)

유도

회귀분석1

  • Part 1

    함수 f(t)f(t)를 1,cos⁡πtL,cos⁡2πtL,⋯ ,sin⁡πtL,sin⁡2πtL,⋯1, \cos \dfrac{\pi t}{L}, \cos\dfrac{2\pi t}{L}, \cdots, \sin \dfrac{\pi t}{L}, \sin \dfrac{2\pi t}{L}, \cdots 들의 선형결합으로 나타내고자 하는게 목적이다. 따라서 SNf(t)=12α0+∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)라고 할 때 f(t)f(t)를 아래와 같이 표현할 수 있다.

    f(t)=SNf(t)+eN(t) f(t)=S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t)

    eN(t)e_{N}(t)는 f(t)f(t)와 근사식 SNf(t)S_{N}^{f} (t)의 차이이다. 이 차이가 가장 작게되는 SNf(t)S_{N}^{f}(t)를 찾으면 그것이 f(t)f(t)와 차이가 가장작은 급수전개가 될 것이다. eNe_{N}을 평균제곱오차mean square error2로 두자.

    eN=12L∫−LL[eN(t)]2dt=12L∫−LL[f(t)−SNf(t)]2dt e_{N}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} [e_{N}(t) ]^{2}dt=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N} (t) \right]^{2} dt

  • Part 2

    eN=12L∫−LL[f(t)−SNf(t)]2dt=12L∫−LL[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt \begin{align*} e_{N} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-S^{f}_{N}(t) \right]^{2} dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \end{align*}

    평균제곱오차 eNe_{N}이 최소가 될 때의 계수 α0, αn, βn\alpha_{0},\ \alpha_{n},\ \beta_{n}를 각각 a0a_{0}, ana_{n}, bnb_{n}이라 하자. eNe_{N}을 최소화하는 조건들은 다음과 같으며 정규 방정식normal equation이라 한다.

    ∂eN∂α0=0,  ∂eN∂αn=0,  ∂eN∂βn=0(m=1, 2, ⋯ , N) \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{n}}=0,\ \ \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{n}}=0\quad (m=1,\ 2,\ \cdots,\ N)

    그러면 a0a_{0}, ana_{n}, bnb_{n}은 아래와 같이 구할 수 있다.

    • Part 2.1 a0a_{0}

      ∂eN∂α0=12L∫−LL∂∂α0[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt=2⋅−12⋅12L∫−LL[f(t)−12α0−∑n=1N(αNcos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]dt=−12L∫−LLf(t)dt+12L∫−LL12α0dt+12L∫−LL∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)dt=−12L∫−LLf(t)dt+12L∫−LL12α0dt=−12L∫−LLf(t)dt+12α0=0 \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{0}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{0}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{-1}{2} \cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_ {N} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac {n\pi t}{L} \right) \right] dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt +\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \sum \limits_ {n=1}^{N}\left( \alpha_{n}\cos \dfrac{n\pi t}{L}+\beta_{n} \sin \dfrac{n \pi t}{L} \right) dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt + \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\dfrac{1}{2}\alpha_{0} dt \\ &= \dfrac{-1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) dt +\dfrac{1}{2}\alpha_{0} \\ &= 0 \end{align*}

      네번째 등호는 삼각함수의 한 주기 적분이 00이므로 성립한다. 따라서

      a0=1L∫−LLf(t)dt a_{0} = \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L}f(t)dt

    • Part 2.2 ana_{n}

      어떤 m∈{1,2,…,N}m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}을 하나 선택하자.

      ∂eN∂αm=12L∫−LL∂∂αm[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt=2⋅12L∫−LL(−cos⁡mπtL)[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]dt=−1L∫−LLf(t)cos⁡mπtLdt+1L∫−LL12α0cos⁡mπtLdt+1L∫−LL∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)cos⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)cos⁡mπtLdt+1Lαm∫−LLcos⁡mπtLcos⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)cos⁡mπtLdt+αm=0 \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \alpha_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \alpha_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \cos \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad + \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \cos\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\alpha_{m} \int_{-L}^{L}\cos\dfrac{m\pi t}{L}\cos\dfrac{m\pi t} {L} dt\\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{m\pi t}{L} dt + \alpha_{m} \\ &= 0 \end{align*}

      네번째, 다섯번째 등호는 삼각함수의 직교성 에 의해 성립한다. 따라서

      an=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdt(n=1,2,⋯ ,N) a_{n}= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \quad (n=1, 2, \cdots, N)

    • Part 2.3 bnb_{n}

      어떤 m∈{1,2,…,N}m \in \left\{ 1,2,\dots,N \right\}을 하나 선택하자.

      ∂eN∂βm=12L∫−LL∂∂βm[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]2dt=2⋅12L∫−LL(−sin⁡mπtL)[f(t)−12α0−∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)]dt=−1L∫−LLf(t)sin⁡mπtLdt+1L∫−LL12α0sin⁡mπtLdt+1L∫−LL∑n=1N(αncos⁡nπtL+βnsin⁡nπtL)sin⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)sin⁡mπtLdt+1Lβm∫−LLsin⁡mπtLsin⁡mπtLdt=−1L∫−LLf(t)sin⁡mπtLdt+βm=0 \begin{align*} \dfrac{\partial e_{N}}{\partial \beta_{m}} &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{\partial}{\partial \beta_{m}} \left[ f(t)-\dfrac{1}{2} {\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L}+\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]^{2} dt \\ &= 2\cdot \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( - \sin \dfrac{m\pi t}{L} \right)\left[ f(t)-\dfrac{1}{2}{\alpha_{0}}-\sum \limits_{n=1}^ {N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n \pi t}{L} +\beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right]dt \\ &= -\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt +\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} \dfrac{1}{2}\alpha_{0}\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt \\ &\quad +\dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sum \limits_{n=1}^{N} \left( \alpha_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + \beta_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \sin\dfrac{m\pi t}{L}dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \dfrac{1}{L}\beta_{m} \int_{-L}^{L}\sin\dfrac{m\pi t}{L}\sin\dfrac{m\pi t} {L} dt \\ &= -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin\dfrac{m\pi t}{L} dt + \beta_{m} \\ &=0 \end{align*}

      네번째, 다섯번째 등호는 삼각함수의 직교성에 의해 성립한다. 따라서

      bn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt(n=1,2,⋯ ,N) b_{n}=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \quad (n=1, 2, \cdots, N)

  • Part 3 이제 위에서 얻은 a0a_{0}, ana_{n}, bnb_{n}으로 f(t)f(t)를 표현하면 같다.

    f(t)=SNf(t)+eN(t)where SNf(t)=a02+∑n=1N(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL)a0=1L∫−LLf(t)dtan=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdtbn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} f(t) &= S^{f}_{N}(t)+e_{N}(t) \\[1em] \text{where } S^{f}_{N}(t) &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*}

    NN에 대해서 극한을 취하면

    lim⁡N→∞SNf(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_{N}^{f} (t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n} \sin\dfrac{n\pi t}{L} \right)

    위의 급수를 ff의 푸리에 급수 라 하고 a0a_{0}, ana_{n}, bnb_{n}을 ff의 푸리에 계수 라 한다.

■

  1. 최병선, Fourier 해석 입문 (2002), p51-53 ↩︎

  2. RSS가 평균제곱오차이다. ↩︎