📂전자기학

앙페르 법칙과 응용

공식

부피전류밀도 $\mathbf{J}$에 의해 생기는 자기장 $\mathbf{B}$가 회전하는 방향은, $\mathbf{J}$의 방향을 축으로 했을 때 오른손법칙을 만족시키는 방향이다.

$$ \nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{J} $$

설명¹

앙페르 법칙은 도선에 흐르는 전류와 자기장 사이에 특별한 관계가 있음을 말해주는 법칙이다. 도선에 전류가 흐르면 그 주위로 자기장이 생긴다. 이 때 자기장의 방향은 ‘오른손 법칙’을 따른다. 오른손의 엄지를 전류가 흐르는 방향으로 뒀을 때 손을 말아쥐는 방향이 바로 자기장의 방향이다.

앙페르 법칙은 정전기학의 가우스 법칙에 대응된다. 등전기장 면이 있을 때 가우스 법칙으로 적분이 간단하게 풀려 전기장을 쉽게 구할 수 있었다. 마찬가지로 등자기장 고리가 있다면 앙페르 법칙으로 적분을 간단히 풀어 자기장을 쉽게 구할 수 있다. 자기장의 회전이 곧 미분꼴의 앙페르 법칙^{Ampere’s law} 이다. 양 변을 부피전류밀도가 흐르는 면에 대하여 적분하면

$$ \int (\nabla \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} = \mu_{0} \int \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} $$

좌변을 스토크스 정리로 바꿔주면 적분꼴의 앙페르 법칙 을 얻는다.

$$ \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \mu_{0} \int \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a} $$

부피전류밀도는 단위 면적을 지나가는 전류의 양이므로 우변의 적분은 해당하는 면을 지나가는 총 전류이다. 등자기장 고리가 있다면 좌변에서 $\mathbf{B}$는 적분 경로에 상관없이 일정하므로 적분 밖으로 나와 적분은 단순히 경계선에 대한 적분으로 바뀐다.

$$ |\mathbf{B}| \oint dl = \mu_{0} I_{in} $$

이것이 바로 앙페르 법칙의 응용이다.이때 당연하게도 전류와 고리의 부호(방향)는 오른손 법칙으로 결정한다. $+$전류가 흐르는 방향이 엄지손가락의 방향과 같을 때 오른손을 말아쥐는 방향이 고리가 돌아가는 방향이다. 중요한 사실은 앙페르 법칙은 정상전류 $I$에 대해서만 성립 한다는 것이다.

예제

정상전류 $I$가 흐르는 긴 직선도선에서 거리가 $s$인 곳의 자기장을 구하라

위 그림과 같이 앙페르 고리를 잡으면 자기장의 크기는 고리 어디에서나 일정하다. 앙페르 법칙을 쓰면

$$ \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = B \oint dl = B2\pi s=\mu_{0} I_{in}=\mu_{0} I $$

따라서

$$ B=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi s } $$

전류가 흐르는 방향을 $\mathbf{z}$방향으로 두고 원통좌표계를 이용하여 자기장의 방향까지 나타내면

$$ \mathbf{B} =\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi s } \hat{\boldsymbol{\phi}} $$