푸아송 방정식
정의
아래의 방정식을 푸아송 방정식Poisson’s equation이라 한다.
$$ \Delta u = \nabla^{2} u = f $$
여기서 $\Delta = \nabla^{2}$는 라플라시안이고, $u, f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$이다.
설명
$f = 0$인 특수한 경우를 라플라스 방정식이라 한다. 물리적으로 $f$는 원인source, $u$는 결과potential or distribution를 의미한다. 가령 정전기학에서 전위 $V$와 전하밀도 $\rho$는 다음과 같은 식으로 나타난다.
$$ \Delta V = \nabla^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_{0}} \rho $$