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중심각이 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사함을 증명 📂기하학

중심각이 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사함을 증명

정리

중심각 θ\theta가 충분히 작을 때 현의 길이와 호의 길이는 근사한다. θ→0\theta \rightarrow 0일 때

AB‾≈AB⌢\overline{AB} \approx \stackrel\frown{AB}

증명

1.JPG

위 그림에서 현의 길이는

AB‾=2AM‾=2rsin⁡θ2\overline{AB} =2\overline{AM}=2r\sin \frac{\theta}{2}

중심각이 θ\theta이고 반지름의 길이가 rr인 호의 길이는

AB⌢=rθ\stackrel\frown{AB}=r\theta

각도가 충분히 작을 때 호의 길이와 현의 길이가 근사한다는 말은 둘의 차이가 거의 없다는 뜻이다. 즉, 비율이 1이라는 뜻이므로

lim⁡θ→0AB‾AB⌢=1 \lim \limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{ \overline{AB} }{\stackrel\frown{AB}}=1

임을 확인하면 된다.

lim⁡θ→0AB‾AB⌢= lim⁡θ→02rsin⁡θ2rθ= lim⁡θ→0sin⁡θ2θ2=1 \begin{align*} \lim \limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{ \overline{AB} }{\stackrel\frown{AB}} =&\ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{2r\sin \frac{\theta}{2}} {r\theta} \\ =&\ \lim \limits_{\theta \rightarrow 0} \dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2} } = 1 \end{align*}

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