📂전자기학

전류와 전류밀도

정의¹

도선의 어느 지점을 단위시간동안 지나가는 전하량을 전류^current라고 정의하고 $I$라 표기한다. 따라서 왼쪽으로 움직이는 음전하와 오른쪽으로 움직이는 양전하는 부호가 같은 전류이다.

단위 시간동안 흐르는 쿨롱의 양을 암페어^ampere라고 한다.

$$1 [A] = 1 [C/s]$$

설명

Ampere는 프랑스사람으로 실제 발음은 [앙페르]에 가깝다. 그래서 앙페르 법칙도 앙페르 법칙이지만 위에서 처럼 단위로 쓸 때는 암페어라고 해야한다.

$I$라는 표기는 intensity of current의 앞글자를 따온 것이다.

선 전류 밀도

위의 그림은 선전하밀도가 $\lambda$인 전하가 도선을 따라 속도 $\mathbf{v}$로 움직이는 상황이다. 거리=속력x시간이므로 단위길이는 $v\Delta t$이다. 단위길이 속에 든 전하량은 단위길이와 선전하밀도를 곱하여 구한다.

$$\Delta q=\lambda v \Delta t$$

전류는 단위시간동안 지나가는 전하량이므로 $\Delta t$동안 점 $P$를 지나가는 전하량은

$$I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=\dfrac{\lambda v \Delta t}{\Delta t}=\lambda v$$

전류는 벡터이므로 방향까지 포함하여 표기하면 다음과 같다.

$$\mathbf{I}=\lambda \mathbf{v}$$

전류가 도선을 따라 흐를 때는 그 방향이 명확하기 때문에(도선과 평행한 방향이다) 따로 언급하지 않아도 무관하다. 하지만 표면 위에서나 부피 속에서 흐르는 전류를 다룰 때에는 그 방향을 확실하게 얘기해야 한다. 전류가 흐르는 도선이 외부 자기장 $\mathbf{B}$에 의해 받는 자기력은

$$\mathbf{F}_{\text{mag}}=\int (\mathbf{v} \times \mathbf{B} ) dq=\int (\mathbf{v} \times \mathbf{B} ) \lambda dl=\int (\mathbf{I} \times \mathbf{B}) dl$$

여기서 $\mathbf{I}$와 $d\mathbf{l}$의 방향이 같으므로

$$\mathbf{F}_{\text{mag}} = \int I (d\mathbf{l} \times \mathbf{B})$$

대게 도선의 흐르는 전류는 그 크기가 일정하므로 적분 밖으로 빼주면

$$\mathbf{F}_{\text{mag}}=I \int (d\mathbf{l} \times \mathbf{B})$$

표면 전류 밀도

표면에 흐르는 전류는 표면 전류 밀도^{surface current density} $\mathbf{K}$로 설명한다. 단위 길이의 폭을 지나가는 전류를 표면전류밀도라하고 수식으로는 다음과 같이 나타낸다.

$$\mathbf{K}=\dfrac{d \mathbf{l}} {dl_\perp}$$

이 개념을 더 쉽게 이해할만한 설명을 하자면 $\mathbf{I}=\dfrac{d\mathbf{q} }{dt}$이므로

$$\dfrac{d \mathbf{I} }{dl_{\perp}}=\dfrac{d^2 \mathbf{q}}{dl_{\perp} dt}$$

따라서 표면전류밀도는 단위 시간당, 단위 길이폭당 지나가는 전하량이다. 표면전하밀도가 $\sigma$, 전하의 속도가 $\mathbf{v}$일 때 표면전류밀도는

$$\mathbf{K}=\sigma \mathbf{v}$$

표면 전류가 외부 자기장에 의해 받는 자기력은

$$\mathbf{F}_{\text{mag}}=\int(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\sigma da=\int (\mathbf{K} \times \mathbf{B})da$$

위에서 봤던 전류일 때의 공식에서 전류 $\mathbf{I}$ 대신 표면 전류 밀도 $\mathbf{K}$를 넣은 꼴이다.

부피 전류 밀도

마찬가지로 전류가 어떤 공간에서 흐를 때는 부피 전류 밀도^{volume current density} $\mathbf{J}$로 설명한다. 단위 면적당 흐르는 전류를 부피전류밀도라하고 수식으로는 다음과 같이 나타낸다.

$$\mathbf{J}=\dfrac {d\mathbf{I}} {da_{\perp}}$$

따라서 반대로 면 $\mathcal{S}$를 지나는 전류 $I$는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$I = \int_{\mathcal{S}}J da_{\perp} = \int_{\mathcal{S}}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}$$

그러면 발산정리에 의해서, 부피 $\mathcal{V}$를 빠져나간 총 전하량은 다음과 같다.

$$\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} = \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{J}) d \tau$$

마찬가지로 $\dfrac {d\mathbf{I}} {da_{\perp}}=\dfrac{d^2 \mathbf{q} } {da_{\perp}{dt}}$이므로 부피전류밀도는 단위 시간당, 단위 면적당 지나가는 전하량이다. 부피전하밀도가 $\rho$이고 전하의 속도가 $\mathbf{v}$라면 부피전류밀도는

$$\mathbf{J}=\rho \mathbf{v}$$

부피 전류가 받는 자기력은

$$\mathbf{F}_{\text{mag}}=\int (\mathbf{v} \times \mathbf{B} )\rho d\tau = \int (\mathbf{J} \times \mathbf{B} ) d\tau$$