📂추상대수

가분확대체

정의 ¹

$E$ 가 $F$ 의 확대체라고 하자.

1. $E$ 에서 $\overline{F}$ 의 부분체로 가는 동형사상 중 고정된 $F$ 를 남기는 동형사상의 갯수를 $F$ 상에서 $E$ 의 인덱스^index라 하고 $\left\{ E : F \right\}$ 와 같이 나타낸다.
2. $E$ 가 유한체라고 할 때, $\left\{ E : F \right\} = [ E : F ]$ 면 $E$ 를 $F$ 의 가분확대체라 한다.
3. $f ( \alpha )$ 가 $F$ 의 가분확대체면 $\alpha \in \overline{F}$ 가 $F$ 상에서 가분이라 한다.
4. $f(x)$ 의 모든 영이 $F$ 상에서 가분이면 기약원 $f(x) \in F [ x ]$ 가 $F$ 상에서 가분이라 한다.
5. $K$ 가 $F$ 의 유한확라고 할 때, $K$ 가 $F$ 상에서 가분최소분열체면 $K$ 를 $F$ 의 유한정규확대체라 한다.

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• $[ E : F ]$ 는 차수를 의미한다.
• $G(E / F)$ 는 $F$ 상에서 $E$ 의군을 의미한다.

설명

인덱스의 예시로써 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$ 을 생각해보면 자기동형사상 $$I, \psi_{\sqrt{2} , -\sqrt{2}}, \psi_{\sqrt{3} , -\sqrt{3}}, \left( \psi_{\sqrt{2} , -\sqrt{2}} \psi_{\sqrt{3} , -\sqrt{3}} \right)$$ 들은 고정된 $\mathbb{Q}$ 를 남기므로 $\left\{ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) : \mathbb{Q} \right\} = 4$ 가 된다.

가분확대체가 따로 정의되는 이유는 일반적으로 $\left\{ E : F \right\} \mid [ E : F ]$ 는 성립하지만 항상 같다는 보장은 없기 때문이다.