라이프니츠 정리 증명
정리
$$ \dfrac{d}{dx} (fg)=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx} $$
$$ \begin{align*} \dfrac{d^n}{dx^n}(fg)&=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!k!}\dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\dfrac{d^k g}{dx^k} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k} \dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\dfrac{d^k g}{dx^k} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\dfrac{d^k g}{dx^k} \end{align*} $$
설명
라이프니츠 규칙Leibniz’s rule이라고도 한다.
첫번째 식은 미분의 곱의 법칙 혹은 곱의 규칙이라고 잘 알려진 식이다. 두 함수의 곱을 한 번 미분했을 때의 결과를 쉽게 표현한 것이다. 여기서 좀 더 일반화하여 $n$번 미분했을 때의 결과를 나타내는 것이 아래의 식이다. 다항식은 반복해서 미분하면 $0$이 될 수 있기 때문에 직접 $n$번 미분하지 않고도 쉽게 결과를 계산할 수 있다.
이 말고도 미분과 적분에 관련하여 라이프니츠의 이름이 붙은 정리 혹은 공식들이 많다.
증명
$D$를 다음과 같은 미분연산자라고 하자.
$$ D=\dfrac{d}{dx} $$
예를 들면 $Df(x)=\dfrac{df(x)}{dx}$이다. $D$를 써서 $fg$의 미분을 표현하면 아래와 같다.
$$ \dfrac{d}{dx}(fg)=gDf+fDg $$
이 때 $D_{f}$를 $f$에만 적용되는 연산자, $D_{g}$를 $g$에만 적용되는 연산자라고 하자. 그러면 위 식은 아래와 같이 표현된다.
$$ (D_{f}+D_{g})(fg)=gDf+fDg $$
그러면 다음을 얻는다.
$$ \dfrac{d}{dx}(fg)=(D_{f}+D_{g})(fg) $$
$$ \dfrac{d^2}{dx^2}(fg)=D(D_{f}+D_{g})(fg) $$
이때 $D$는 미분연산자이므로 연산의 순서는 상관없다. 다시 말하자면 $DD_{f}f=D_{f}Df$라는 뜻이다. 그러면 위의 식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \dfrac{d^2}{dx^2}(fg) &= D(D_{f}+D_{g})(fg) \\ &= (D_{f}+D_{g})D(fg) \\ &= (D_{f}+D_{g})(D_{f}+D_{g})(fg) \\ &= (D_{f}+D_{g})^2 (fg) \end{align*} $$
$D$는 위에서 얘기했듯이 곱의 교환이 성립하므로 마지막줄 처럼 표현할 수 있다. 미분 횟수를 $n$번으로 확장하면 다음과 같다.
$$ \dfrac{d^n}{dx^n} (fg)=(D_{f}+D_{g})^n(fg) $$
교환법칙이 성립하므로 이항정리를 적용할 수 있다. 이항정리를 쓰면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} \dfrac{d^n}{dx^n} (fg) &= (D_{f}+D_{g})^n(fg) \\ &= \sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} {D_{f}}^{n-k} {D_{g}}^{k}(fg) \\ &=\sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} {D_{f}}^{n-k} f{D_{g}}^{k}g \\ &= \sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}} \dfrac{d^k g}{dx^k} \\ &= \sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} f^{(n-k)} g^{(k)} \end{align*} $$
■
예제
1
- $\dfrac{d^7}{dx^7}( x \sin x)$를 구하여라.
$x$, $\sin x$를 각각 위의 증명에서의 $g$, $f$라고 두면 라이프니츠 규칙에 의해
$$ \dfrac{d^7}{dx^7}( x \sin x)=\sum \limits_{k=0} ^7 {}_{7} \mathrm{C}_{k} \dfrac{d ^{n-k} } {dx^{n-k} }(\sin x) \dfrac{d^k}{dx^k} (x) $$
이때 $k \ge 2$ 인 경우에는 $\dfrac{d^k}{dx^k}(x)=0$이므로 $k=0,1$인 두 항만 남는다. 따라서
$$ \begin{align*} \dfrac{d^7}{dx^7} ( x \sin x ) &= {}_{7} \mathrm{C} _{0} \dfrac{d^7}{dx^7}(\sin x) x + {}_{7}\mathrm{C}_{1} \dfrac{d^6}{dx^6} (\sin x) \\ &= -x \cos x -7\sin x \end{align*} $$
■
2
- $\dfrac{d^{10}}{dx^{10}} ( x^2 e^{-x} )$를 구하여라.
$x^2$, $e^{-x}$를 각각 위의 증명에서의 $g$, $f$라고 두면 라이프니츠 규칙에 의해
$$ \dfrac{d^{10}}{dx^{10}} (x^2 e^{-x}) = \sum \limits _{k=0} ^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{10-k}}{dx^{10-k}}(e^{-x}) \dfrac{d^k}{dx^k} ( x^2) $$
이 때, $k \ge 3$인 경우에는 $\dfrac{d^k}{dx^k} (x^2)=0$이므로 $k=0,1,2$인 세 항만 남는다. 따라서
$$ \begin{align*} \dfrac{d^{10} } {dx^{10} } (x^2 e^{-x}) &= {}_{10} \mathrm{C}_{0} \dfrac{d^{10}}{dx^{10}} (e^{-x}) x^2 + {}_{10} \mathrm{C} _{1} \dfrac{d^9}{dx^9}(e^{-x}) \dfrac{d}{dx}(x^2) + {}_{10}\mathrm{C}_2 \dfrac{d^8}{dx^8} ( e^{-x} ) \dfrac{d^2}{dx^2} (x^2) \\ &= x^2 e^{-x} -20 x e^{-x} + 90e^{-x} \end{align*} $$
■