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속박전하와 편극된 물체가 만드는 전기장 📂전자기학

속박전하와 편극된 물체가 만드는 전기장

속박전하1

외부 전기장에 의해서 물체의 쌍극자들이 한 방향으로 정렬하고 이로 인해 물체는 편극되고, 쌍극자 모멘트 p\mathbf{p}를 가진다. 쌍극자 모멘트들이 만들어내는 전기장은 다음과 같이 계산한다. 쌍극자 모멘트 p\mathbf{p}가 만드는 전위는 다음과 같다.

V(r)=14πϵ0p⋅2 \begin{equation} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{ \mathbf{p} \cdot \crH } {\cR ^2} \label{1} \end{equation}

1.JPG

r′\mathbf{r}^{\prime}은 원천점의 위치벡터, r\mathbf{r}은 관찰점의 위치벡터, =r−r′\bcR=\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}는 분리벡터이다. 편극밀도 P\mathbf{P}는 단위 부피 당 쌍극자 모멘트이므로

P=pdτ′ \mathbf{P}=\dfrac{\mathbf{p}}{d \tau^{\prime}}

이를 (1)\eqref{1}에 대입하면

V(r)=14πϵ0∫VP(r′)⋅^2dτ′ V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \displaystyle \int _\mathcal{V} \dfrac{ \mathbf{P (\mathbf{r}^{\prime} ) \cdot \hat { \boldsymbol {\cR} } } }{\cR ^2} d \tau^{\prime}

여기서 ∇′(1)=2\nabla ^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) = \dfrac{ \crH } {\cR^2}을 이용하면 위 식은 다음과 같다.

V=14πϵ0∫VP⋅∇′(1)dτ′ V=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \displaystyle \int _\mathcal{V} \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) d \tau^{\prime}

델 연산자가 포함된 곱셈규칙

∇⋅(fA)=f(∇⋅A)+A⋅(∇f) \nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)

위의 곱셈 규칙을 이용하면

∇′⋅(P)= 1(∇′⋅P)+P⋅∇′(1)  ⟹  P⋅∇′(1)= ∇′⋅(P)−1(∇′⋅P) \begin{align*} && \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{P} } {\cR} \right) =&\ \dfrac{1}{\cR} ( \nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) + \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) \\ \implies && \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) =&\ \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{P} } {\cR} \right) -\dfrac{1}{\cR} ( \nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) \end{align*}

이므로 이를 대입하면

V=14πϵ0∫V∇′⋅(P)dτ′−14πϵ0∫V1(∇′⋅P)dτ′ V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathcal{V} \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{ P} }{\cR} \right) d\tau^{\prime} -\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{1}{\cR} (\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) d\tau^{\prime}

발산 정리

∫V∇⋅FdV=∮SF⋅dS \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{ S}

여기서 첫째항에 발산 정리를 쓰면

V=14πϵ0∮S(P)⋅da′−14πϵ0∫V1(∇′⋅P)dτ′ V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \oint_\mathcal{S} \left( \dfrac{ \mathbf{ P} }{\cR} \right) \cdot d\mathbf{a}^{\prime} -\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{1}{\cR} (\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) d\tau^{\prime}

단위면적의 법선벡터를 n^\hat { \mathbf{n} }이라고 하면 P⋅da′=P⋅n^da′\mathbf{P} \cdot d\mathbf{a}^{\prime}=\mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} } da^{\prime}로 나타낼 수 있다. 여기서 P⋅n^\mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} }를 σb\sigma_{b}로 표기하고 속박 면전하 밀도bound surface charge density라고 한다.

σb=P⋅n^ \sigma_{b} = \mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} }

마찬가지로 −∇′⋅P-\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P}를 ρb\rho_{b}로 표기하고 속박 부피전하 밀도bound volume charge density라고 한다.

ρb=−∇′⋅P \rho_{b}=-\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P}

이제 편극밀도 P\mathbf{P}에 의한 전위를 두 속박전하가 만들어내는 전위로 표현할 수 있다.

V(r)=14πϵ0∮Sσbda′+14πϵ0∫Vρbdτ′ V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \oint_\mathcal{S} \dfrac{ \sigma_{b}} {\cR} da^{\prime}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathcal{V} \dfrac{\rho_{b}}{\cR} d\tau^{\prime}

편극된 물체가 만드는 전위는 속박 부피전하 밀도 ρb\rho_{b}와 속박 면전하 밀도 σb\sigma_{b}가 만들어내는 전위의 합과 같다.

특징

  1. 속박전하를 모두 더한 알짜 전하량은 00이다. 전기적으로 중성인 유전체를 편극시키면 전하가 움직여 속박전하가 생기지만 여전히 알짜 전하량은 00이다.

  2. 편극밀도가 고를 때 속박 부피전하 밀도는 00이다. ρb=−∇⋅P\rho_{b}=-\nabla \cdot \mathbf{P}이므로 P\mathbf{P}가 일정하다면 미분한 결과는 00이다.

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p186-189 ↩︎