두 레비-치비타 심볼의 곱
정리
다음과 같이 정의되는 $\epsilon_{ijk}$를 레비-치비타 심볼이라고 한다.
$$ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if} \ \epsilon_{123}, \epsilon_{231}, \epsilon_{312} \\ -1 & \text{if} \ \epsilon_{132}, \epsilon_{213}, \epsilon_{321} \\ 0 & \text{if} \ i=j \ \text{or} \ j=k \ \text{or} \ k=i \end{cases} $$
다음과 같이 정의되는 $\delta_{ij}$를 크로네커 델타라고 한다.
$$ \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
두 레비-치비타 심볼의 곱과 크로네커 델타 사이에는 다음의 관계가 성립한다.
(a) 한 개의 인덱스가 같은 경우: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$
(b) 두 개의 인덱스가 같은 경우: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm}=2\delta_{km}$
(c) 세 개의 인덱스가 같은 경우: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6$
설명
글 전반에서 $\sum$을 생략하는 아인슈타인 표기법을 사용하고 있음에 유의하라. 이는 위의 공식에서도 마찬가지이다. (a)는 쓸 일이 많아서 외워두면 유용하다. 쉽게 외우는 방법은 다음과 같다.
증명
(a)
$\mathbf{e}_{i}$ $(i=1,2,3)$ 를 3차원에서의 표준단위벡터 라고 하자.
$$ \mathbf{e}_{1} = (1, 0, 0),\quad \mathbf{e}_{2} = (0, 1, 0),\quad \mathbf{e}_{3} = (0, 0, 1) $$
$P_{ijk}$를 $1,2,3$행이 각각 $\mathbf{e}_{i}$, $\mathbf{e}_{j}$, $\mathbf{e}_{k}$인 $3 \times 3$ 행렬이라고 하자.
$$ P_{ijk} = \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} $$
그러면 행렬식의 성질에 의해 $\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk}$임을 쉽게 알 수 있다. 우선 $P_{123}$은 항등행렬이므로 행렬식이 $1$이다. 또한 서로 다른 행의 순서를 짝수번 바꿨을 때 행렬식의 값은 변하지 않으므로,
$$ \det P_{123} = \det P_{231} = \det P_{312} = 1 $$
서로 다른 행의 순서를 홀수번 바꾸면 행렬식의 부호가 반대가 되므로,
$$ \det P_{132} = \det P_{213} = \det P_{321} = -1 $$
같은 행이 두 개 이상 있는 행렬의 행렬식은 $0$이므로 나머지의 경우 전부 $0$이다. 따라서 $\det P_{ijk} = \epsilon_{ijk}$가 성립한다. 하나의 인덱스가 같은 두 레비-치비타 심볼의 곱은, 행렬식의 성질을 잘 사용하면, 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{l} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{m} \text{ —} \end{bmatrix} \\ &= \det \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} & (\because \det A = \det A^{T}) \\ &= \det \left( \begin{bmatrix} \text{— } \mathbf{e}_{i} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{j} \text{ —} \\ \text{— } \mathbf{e}_{k} \text{ —} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert \\ \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{m} \\ \vert & \vert & \vert \end{bmatrix} \right) & \Big(\because (\det A) (\det B) = \det (AB) \Big) \\ &= \det \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{e}_{m} \\ \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{i} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{l} & \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{e}_{m} \end{bmatrix} \end{align*} $$
$\mathbf{e}_{i}$는 표준단위벡터이므로, $\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{j} = \delta_{ij}$가 성립한다.
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} \delta_{ii} & \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{ji} & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ \delta_{ki} & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix} $$
이때 우리는 $i$가 $j, k, l, m$과 모두 다른 경우에 대해서만 생각하고 있음에 유의하자. 왜냐하면 $j, k, l, m$ 중 하나라도 $i$와 같다면 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = 0$이므로 의미 없는 결과이기 때문이다. 그러므로 결과는
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ 0 & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{bmatrix} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} $$
■
(b)
(a) 에서 $l=j$인 경우이다. 따라서 다음과 같다.
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj} $$
이때 $\delta_{jj}=3$, 그리고 $\delta_{jm}\delta_{kj}=\delta_{mk}$가 성립하므로 다음과 같다.
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijm} = \delta_{jj}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kj} = 3\delta_{km} - \delta_{mk} = 2\delta_{km} $$
■
(c)
(b) 에서 $m=k$인 경우이므로,
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = \sum_{k=1}^{3}2\delta_{kk} = 2\delta_{11} + 2\delta_{22} + 2\delta_{33} = 2 + 2 + 2 = 6 $$
혹은 단순하게 $0$이 아닌 모든 항을 풀어서 쓰면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &=\sum \limits _{i=1} ^{3}\sum \limits _{j=1} ^{3}\sum \limits _{k=1} ^{1} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \\ &=\epsilon_{123}\epsilon_{123}+\epsilon_{231}\epsilon_{231}+\epsilon_{312}\epsilon_{312}+\epsilon_{132}\epsilon_{132}+\epsilon_{213}\epsilon_{213}+\epsilon_{321}\epsilon_{321} \\ &=6 \end{align*} $$
■