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국소 립시츠 조건 📂해석개론

국소 립시츠 조건

정의

EE 가 Rn\mathbb{R}^{n} 에서 오픈이고 f:E→Rn\mathbf{f} : E \to \mathbb{R}^{n} 이라고 하자. 모든 x0∈E\mathbf{x} _{0} \in E 에 대해 B(x0;ε)⊂EB \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset E 를 만족하는 ε>0\varepsilon > 0 과 모든 x,y∈B(x0;ε)\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) 에 대해 ∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣| \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) | \le K | \mathbf{x} - \mathbf{y} | 를 만족하는 K>0K >0 가 존재하면 f\mathbf{f} 가 EE 에서 로컬리 립시츠locally Lipshitz라 한다.

이때 다음과 같은 관계가 성립한다.

강한 립시츠 조건   ⟹  \implies 립시츠 조건   ⟹  \implies 국소 립시츠 조건

정리

f∈C1(E)\mathbf{f} \in C^{1} (E) 면 f\mathbf{f} 는 EE 에서 로컬리 립시츠다.

  • 유클리드 공간 Rn\mathbb{R}^{n} 의 볼을 B(x0;d):={x∈Rn∣∣x0−x∣<d}B[x0;d]:={x∈Rn∣∣x0−x∣≤d} B \left( \mathbf{x}_{0} ; d \right) := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | < d \right\} \\ B \left[ \mathbf{x}_{0} ; d \right] := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | \le d \right\} 과 같이 표현한다. DD 는 미분작용소다.

증명

EE 가 오픈이므로 주어진 x0∈E\mathbf{x}_{0} \in E 에 대해 오픈 볼 B(x0;ε)⊂EB \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset E 이 존재한다. f∈C1(E)\mathbf{f} \in C^{1} (E) 이라는 말은 DfD \mathbf{f} 가 존재한다는 뜻이고, K:=max⁡x∈B[x0;ε2]∥Df(x)∥\displaystyle K : = \max_{ \mathbf{x} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] } \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right\| 이라고 둘 수 있다.

x,y∈B[x0;ε2]\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] 에 대해 u:=y−x\mathbf{u} := \mathbf{y} - \mathbf{x} 이라고 하면 B[x0;ε2]B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] 이 컨벡스하므로 모든 s∈[0,1]s \in [0,1] 에 대해

x+su∈B[x0;ε2] \mathbf{x} + s \mathbf{u} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]

함수 F:[0,1]→RnF : [0,1] \to \mathbb{R}^{n} 을 F(s):=f(x+su)F (s) := \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) 와 같이 정의하면

F′(s)=Df(x+su)u F ' (s) = D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u}

따라서

f(y)−f(x)=F(1)−F(0)=∫01F′(s)ds=∫01Df(x+su)uds \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) = F (1) - F(0) = \int_{0}^{1} F ' (s) ds = \int_{0}^{1} D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} ds

위에서 얻은 식의 양변에 절댓값을 취하면

∣f(y)−f(x)∣≤∫01∣Df(x+su)u∣ds≤∫01∥Df(x+su)∥∣u∣ds \begin{align*} &\left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \\ \le & \int_{0}^{1} \left| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} \right| ds \\ \le & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \end{align*}

그러면 작용소의 성질에 의해

∫01∥Df(x+su)∥∣u∣ds≤K∣u∣≤K∣y−x∣ \begin{align*} & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \\ \le & K | \mathbf{u} | \\ \le & K | \mathbf{y} - \mathbf{x} | \end{align*}

정리하면

∣f(y)−f(x)∣≤K∣y−x∣ \left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \le K | \mathbf{y} - \mathbf{x} |

이므로 f\mathbf{f} 는 EE 에서 로컬리 립시츠다.

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