국소 립시츠 조건
정의
$E$ 가 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 오픈이고 $\mathbf{f} : E \to \mathbb{R}^{n}$ 이라고 하자. 모든 $\mathbf{x} _{0} \in E$ 에 대해 $B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset E$ 를 만족하는 $\varepsilon > 0$ 과 모든 $\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right)$ 에 대해 $| \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) | \le K | \mathbf{x} - \mathbf{y} |$ 를 만족하는 $K >0$ 가 존재하면 $\mathbf{f}$ 가 $E$ 에서 로컬리 립시츠locally Lipshitz라 한다.
이때 다음과 같은 관계가 성립한다.
강한 립시츠 조건 $\implies$ 립시츠 조건 $\implies$ 국소 립시츠 조건
정리
$\mathbf{f} \in C^{1} (E)$ 면 $\mathbf{f}$ 는 $E$ 에서 로컬리 립시츠다.
- 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 의 볼을 $$ B \left( \mathbf{x}_{0} ; d \right) := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | < d \right\} \\ B \left[ \mathbf{x}_{0} ; d \right] := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | \le d \right\}$$ 과 같이 표현한다. $D$ 는 미분작용소다.
증명
$E$ 가 오픈이므로 주어진 $\mathbf{x}_{0} \in E$ 에 대해 오픈 볼 $B \left( \mathbf{x} _{0} ; \varepsilon \right) \subset E$ 이 존재한다. $\mathbf{f} \in C^{1} (E)$ 이라는 말은 $D \mathbf{f}$ 가 존재한다는 뜻이고, $\displaystyle K : = \max_{ \mathbf{x} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] } \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right\|$ 이라고 둘 수 있다.
$\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]$ 에 대해 $\mathbf{u} := \mathbf{y} - \mathbf{x}$ 이라고 하면 $B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right]$ 이 컨벡스하므로 모든 $s \in [0,1]$ 에 대해
$$ \mathbf{x} + s \mathbf{u} \in B \left[ \mathbf{x} _{0} ; {{\varepsilon} \over {2}} \right] $$
함수 $F : [0,1] \to \mathbb{R}^{n}$ 을 $F (s) := \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} )$ 와 같이 정의하면
$$ F ' (s) = D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} $$
따라서
$$ \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) = F (1) - F(0) = \int_{0}^{1} F ' (s) ds = \int_{0}^{1} D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} ds $$
위에서 얻은 식의 양변에 절댓값을 취하면
$$ \begin{align*} &\left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \\ \le & \int_{0}^{1} \left| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \mathbf{u} \right| ds \\ \le & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \end{align*} $$
그러면 작용소의 성질에 의해
$$ \begin{align*} & \int_{0}^{1} \left\| D \mathbf{f} ( \mathbf{x} + s \mathbf{u} ) \right\| \left| \mathbf{u} \right| ds \\ \le & K | \mathbf{u} | \\ \le & K | \mathbf{y} - \mathbf{x} | \end{align*} $$
정리하면
$$ \left| \mathbf{f} ( \mathbf{y} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{x} ) \right| \le K | \mathbf{y} - \mathbf{x} | $$
이므로 $\mathbf{f}$ 는 $E$ 에서 로컬리 립시츠다.
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