치환을 이용한 비동차 오일러 미분 방정식의 풀이
정의
다음과 같이 주어진 미분 방정식을 오일러 미분 방정식Euler differential equation이라 한다.
$$ \begin{align} && a_2 x^2 \dfrac{d^2 y}{d x^2} + a_{1} x \dfrac{dy}{dx} + a_{0} y &= f(x) \label{eq1} \\ \mathrm{or}&& a_2 x^2 y^{\prime \prime} + a_{1} x y^{\prime} +a_{0} y &= f(x) \nonumber \\ \mathrm{or}&& x^2 y^{\prime \prime} + \alpha x y^{\prime} + \beta y &= f(x) \nonumber \end{align} $$
설명
오일러-코시 방정식Euler-Cauchy equation이라고도 부른다.
$f(x)=0$인 동차방정식 꼴이라면 비교적 쉽게 풀 수 있다.
위와 같은 비동차 방정식 꼴이라면 계수에 독립변수가 있는 꼴이라 풀기 쉽지 않다. 계수가 상수인 미분 방정식과 비교하면 훨씬 어렵다. 이 글에서는 여러 방법 중 치환을 통해 오일러 방정식을 쉽게 푸는 방법을 소개한다. 핵심은 $x$를 $e^z$로 치환하는 것이다. $x=e^z$라고 두면 오일러 방정식이 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식이 된다. 그러면 2계 비동차 미분방정식의 풀이를 참고해서 쉽게 풀 수 있다
풀이
Step 0.
$x=e^z$라고 치환한다. 그러면
$$ \ln x = z, \quad \quad \dfrac{1}{x}=\dfrac{dz}{dx} $$
Step 1.
$$ \begin{align*} x \dfrac{dy}{dx} &= x\dfrac{dy}{dz} \dfrac{dz}{dx} \\ &= x \dfrac{dy}{dz} \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{dy}{dz} \end{align*} $$
$$ \implies x\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} $$
첫번째 등호는 연쇄법칙에 의해 성립한다.
Step 2.
$$ \begin{align*} x^2 \dfrac{ d^2 y}{d x^2} &=x^2 \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right) \\ &= x^2 \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{x} \dfrac{dy}{dz} \right) \\ &= -\dfrac{dy}{dz} + x\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dz} \right) \\ &= -\dfrac{dy}{dz} + x\dfrac{d}{dz} \left( \dfrac{dy}{dz} \right) \dfrac{dz}{dx} \\ &= -\dfrac{dy}{dz} + x \dfrac{d^2y}{dz^2} \dfrac{1}{x} \end{align*} $$
$$ \implies x^2 \dfrac{ d^2 y}{d x^2} = \dfrac{d^2y}{dz^2} -\dfrac{dy}{dz} $$
두번째 등호는 Step 1. 의 결과에 의해 성립한다. 네번째 등호는 연쇄법칙에 의해 성립한다. 마지막 등호는 Step 0. 의 결과에 의해 성립한다.
Step 3.
Step 1-2. 의 결과를 오일러 방정식 $\eqref{eq1}$에 대입하면
$$ a_2 \left( \dfrac{d^2y}{dz^2} -\dfrac{dy}{dz} \right) + a_{1} \dfrac{dy}{dz} + a_{0} y =f(e^z) $$
$$ \implies a_2 \dfrac{d^2y}{dz^2} + (a_{1}-a_2) \dfrac{dy}{dz} + a_{0} y =f(e^z) $$
이제 2계 비동차 미분방정식의 풀이법대로 풀면 된다.
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