1차원 맵의 랴푸노프 수
정의1
스무스한 $1$차원 맵 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 한 오빗 $\left\{ x_{1} , x_{2} , x_{3} , \cdots \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.
랴푸노프 수
다음을 랴푸노프 수Lyapunov number라 한다. $$L ( x_{1} ) : = \lim_{ n \to \infty } \left( \prod_{i = 1}^{n} | f ' (x_{i} ) | \right)^{1/n}$$
랴푸노프 지수
다음을 랴푸노프 지수Lyapunov exponent라 한다. $$h ( x_{1} ) := \lim_{n \to \infty } {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} \ln | f ' (x_{i} ) |$$ 랴푸노프 지수는 흔히 $\lambda$ 로도 많이 나타낸다.
설명
직관적 정의 2
랴푸노프 수의 직관적인 개념은 ‘초기 조건의 작은 차이가 먼 미래에 얼마나 큰 영향을 미쳤는가’라고 볼 수 있다. 초기 조건 $x_{1}$ 와 아주 조금의 거리 $\delta_{1} \approx 0$ 만큼 떨어진 $x_{1} + \delta_{1}$ 에서 각각 $n$ 만큼의 시간이 흐른 후의 거리를 $$ \delta_{n} := f^{n} \left( x_{1} + \delta_{1} \right) - f^{n} \left( x_{1} \right) $$ 라고 나타내자. 여기서 $\left| \delta_{n} \right| \approx \left| \delta_{1} \right| e^{n \lambda}$ 일 때, $\lambda$ 를 랴푸노프 지수라 정의할 수도 있다. 랴푸노프 지수가 $0$ 이상이라면 그 값이 클수록 $\left| \delta_{1} \right|$ 와 $\left| \delta_{n} \right|$ 의 차이가 커서 초기 조건의 차이가 먼 미래에 큰 영향을 미치는 것이고, $0$ 보다 작다면 그 값이 작을수록 두 값이 비슷해서 초기 조건의 차이가 먼 미래에 영향을 덜 미치는 것으로 해석할 수 있다. $\lambda$ 에 대해서 다시 수식을 전개해보자면, 양변에 로그를 취해서 $$ \left| \delta_{n} \right| \approx \left| \delta_{1} \right| e^{n \lambda} \implies \ln \left| \delta_{n} \right| \approx \ln \left| \delta_{1} \right| n \lambda $$ 이고, $$ \begin{align*} \lambda \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| {\frac{ \delta_{n} }{ \delta_{1} }} \right| \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| {\frac{ f^{n} \left( x_{1} + \delta_{1} \right) - f^{n} \left( x_{1} \right) }{ \delta_{1} }} \right| \\ \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) \right| \end{align*} $$ 다. 한편 $\left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right)$ 은 체인룰에 따라 $$ \begin{align*} \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) =& \left[ f \left( f^{n-1} \right) \left( x_{1} \right) \right] ' \\ =& \left( f^{n-1} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( f^{n-1} \left( x_{1} \right) \right) \\ =& \left( f^{n-1} \right) ' \left( x_{1} \right) f ' \left( x_{n} \right) \\ =& \left( f^{n-2} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( f^{n-2} \left( x_{1} \right) \right) f ' \left( x_{n} \right) \\ =& \left( f^{n-2} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( x_{n-1} \right) f ' \left( x_{n} \right) \\ & \vdots \\ =& \prod_{k=1}^{n} f ' \left( x_{k} \right) \end{align*} $$ 이라서 $$ \begin{align*} \lambda \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) \right| \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \prod_{k=1}^{n} f ' \left( x_{k} \right) \right| \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{k=1}^{n} \ln \left| f ' \left( x_{k} \right) \right| \end{align*} $$ 이므로, 충분히 큰 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음과 같은 근사를 유도할 수 있다. $$ \lambda \approx {{1} \over {n}} \sum_{k=1}^{n} \ln | f ' (x_{k} ) | \approx \lim_{N \to \infty} {{1} \over {N}} \sum_{k=1}^{N} \ln | f ' (x_{k} ) | = h \left( x_{1} \right) $$
카오스 이론
싱크와 소스의 개념을 다시금 생각해보면 싱크란 가까운 곳의 점이 모여드는 일종의 ‘수렴점’, 소스란 가까웠던 점들이 점점 멀어지는 일종의 ‘발산점’이라고 볼 수 있다. 이것은 프리어딕 오빗에 대해서도 비슷하게 확장시킬 수 있었다.
오빗의 싱크와 소스 판정법: > $f$ 의 피리어딕-$k$ 오빗을 $\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$ 라고 하자. $\left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| < 1$ 이면 $\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$ 은 싱크고, $\left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| > 1$ 이면 $\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$ 은 소스다.
랴푸노프 수는 이러한 개념을 피리어딕한 오빗 이상으로 확장하기 위해 도입되었다고 볼 수 있다. 싱크가 안정적인 경향을 나타내고 소스가 요동치는 확산을 나타낸다고 보았을 때 미분계수의 무한곱들로 표현된 $L ( x_{1} )$ 이 $1$ 보다 더 크다면 사실상 $x_{1}$ 의 오빗이 소스임을 암시한다. 그러한 점에서 랴푸노프 지수는 어심토티컬리 피리어딕과 함께 카오스이라는 개념을 정의하거나, 아래의 정리를 준다.
정리3
스무스한 맵 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 오빗 중 $f ' (x_{i} ) \ne 0$ 을 만족하는 $\left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\}$ 이 피리어딕-$k$ 오빗 $\left\{ y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{k} , \cdots \right\}$ 에 어심토티컬리 피리어딕하다고 하자. 그러면 두 오빗은 같은 랴푸노프 지수를 갖는다.
증명
Part 1. 수열의 평균은 원래 수열의 극한으로 수렴한다.
간단한 팩트로써, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_{n} = s$ 라고 한다면 $m \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_{n+m} = s$ 이 성립한다.
그러면 그 평균 역시 $s$ 로 수렴하고, 수식으로 나타내면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} s_{i} = s$
Part 2.
$k=1$ 이라고 하면 $y_{1}$ 은 $f$ 의 고정점이 된다. $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_{n} = y_{1}$ 이고 $f$ 가 스무스하므로
$$ \lim_{n \to \infty } f ' (x_{n}) = f ' \left( \lim_{n \to \infty} x_{n} \right) = f ' ( y_{1} ) $$
한편 $\ln | \cdot | $ 역시 연속함수이므로
$$ \lim_{n \to \infty } \ln | f ' (x_{n}) | = \ln \left| \lim_{n \to \infty} f ' ( x_{n} ) \right| = \ln | f ' ( y_{1} ) | $$
따라서 Part 1.에 의해
$$ \begin{align*} h ( x_{1} ) =& \lim_{n \to \infty } {{1} \over {n} } \sum_{i=1}^{n} \ln | f ' (x_{n}) | \\ =& \lim_{n \to \infty } \ln | f ' (x_{n}) | \\ =& {{1} \over {1}} \ln | f ' (y_{1} ) | \\ =& h (y_{1} ) \end{align*} $$
Part 3.
$f$ 하에서 $x_{1}$ 의 랴푸노프 수가 $\displaystyle L := \lim_{ n \to \infty } \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)^{1/n}$ 이라고 하자. 체인 룰에 의해 $i = 1, \cdots , k$ 에 대해서는 $( f^{k} )' ( x_{i} ) = f ' ( x_{1} ) \cdots f ' ( x_{k} )$ 이므로, $f^{k}$ 하에서 $x_{1}$ 의 랴푸노프 수는
$$ \begin{align*} & \lim_{ n \to \infty } \left( \left| (f^{k})' ( x_{1} ) \right| \cdots \left| (f^{k}) ’ ( x_{n} ) \right| \right)^{1/n} \\ =& \lim_{ n \to \infty } \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)^{k/n} \\ =& L^{k} \end{align*} $$
계산과정을 보면 자연스럽게 역도 성립하고, $f$ 하에서 $x_{1}$ 랴푸노프 지수가 $ h = f^{k}$ 하에서 $x_{1}$ 랴푸노프 지수가 $kh$ 이다.
Part 4.
$k > 1$ 이라고 하면 $y_{1}$ 은 $f^{k}$ 의 고정점이고 $\left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\}$ 는 $\left\{ y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{k}, \cdots \right\}$ 에 어심토티컬리 피리어딕하다.
$$ \begin{align*} h(x_{1} ) =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {n}} \left( \ln | f ' ( x_{1} ) | + \cdots + \ln | f ' ( x_{n} ) | \right) \\ =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {n}} \ln \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right) \\ =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {k \cdot n}} \ln \left( | f ' ( x_{1} ) |^{k} \cdots | f ' ( x_{n} ) |^{k} \right) \\ =& {{1} \over {k}} \lim_{ n \to \infty } \ln \left( | (f^{k} ) ’ ( x_{n} ) | \right) = {{1} \over {k}} \ln \left| ( f^{k} )' ( y_{1} ) \right| \end{align*} $$
Part 2.에 의해 $f^{k}$ 하에서 $x_{1}$ 의 랴푸노프 지수는
$$ \ln \left| (f^{k})' (y_{1}) \right| $$
Part 3.에 의해 $f$ 하에서 $x_{1}$ 의 랴푸노프 지수는
$$ h( x_{1} ) = {{1} \over {k}} \ln \left| ( f^{k} )' ( y_{1} ) \right| = h ( y_{1} ) $$
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