1차원 맵의 랴푸노프 수
📂동역학 1차원 맵의 랴푸노프 수 정의 스무스 한 1 1 1 맵 f : R → R f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R 오빗 { x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ } \left\{ x_{1} , x_{2} , x_{3} , \cdots \right\} { x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ }
랴푸노프 수 다음을 랴푸노프 수 Lyapunov number 라 한다.
L ( x 1 ) : = lim n → ∞ ( ∏ i = 1 n ∣ f ′ ( x i ) ∣ ) 1 / n L ( x_{1} ) : = \lim_{ n \to \infty } \left( \prod_{i = 1}^{n} | f ' (x_{i} ) | \right)^{1/n} L ( x 1 ) := n → ∞ lim ( i = 1 ∏ n ∣ f ′ ( x i ) ∣ ) 1/ n
랴푸노프 지수 다음을 랴푸노프 지수 Lyapunov exponent 라 한다.
h ( x 1 ) : = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n ln ∣ f ′ ( x i ) ∣ h ( x_{1} ) := \lim_{n \to \infty } {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} \ln | f ' (x_{i} ) | h ( x 1 ) := n → ∞ lim n 1 i = 1 ∑ n ln ∣ f ′ ( x i ) ∣ λ \lambda λ
설명 직관적 정의 랴푸노프 수의 직관적인 개념은 ‘초기 조건의 작은 차이가 먼 미래에 얼마나 큰 영향을 미쳤는가’라고 볼 수 있다. 초기 조건 x 1 x_{1} x 1 δ 1 ≈ 0 \delta_{1} \approx 0 δ 1 ≈ 0 x 1 + δ 1 x_{1} + \delta_{1} x 1 + δ 1 n n n δ n : = f n ( x 1 + δ 1 ) − f n ( x 1 )
\delta_{n} := f^{n} \left( x_{1} + \delta_{1} \right) - f^{n} \left( x_{1} \right)
δ n := f n ( x 1 + δ 1 ) − f n ( x 1 ) ∣ δ n ∣ ≈ ∣ δ 1 ∣ e n λ \left| \delta_{n} \right| \approx \left| \delta_{1} \right| e^{n \lambda} ∣ δ n ∣ ≈ ∣ δ 1 ∣ e nλ λ \lambda λ 0 0 0 ∣ δ 1 ∣ \left| \delta_{1} \right| ∣ δ 1 ∣ ∣ δ n ∣ \left| \delta_{n} \right| ∣ δ n ∣ 0 0 0 λ \lambda λ ∣ δ n ∣ ≈ ∣ δ 1 ∣ e n λ ⟹ ln ∣ δ n ∣ ≈ ln ∣ δ 1 ∣ n λ
\left| \delta_{n} \right| \approx \left| \delta_{1} \right| e^{n \lambda} \implies \ln \left| \delta_{n} \right| \approx \ln \left| \delta_{1} \right| n \lambda
∣ δ n ∣ ≈ ∣ δ 1 ∣ e nλ ⟹ ln ∣ δ n ∣ ≈ ln ∣ δ 1 ∣ nλ λ ≈ 1 n ln ∣ δ n δ 1 ∣ = 1 n ln ∣ f n ( x 1 + δ 1 ) − f n ( x 1 ) δ 1 ∣ ≈ 1 n ln ∣ ( f n ) ′ ( x 1 ) ∣
\begin{align*}
\lambda \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| {\frac{ \delta_{n} }{ \delta_{1} }} \right|
\\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| {\frac{ f^{n} \left( x_{1} + \delta_{1} \right) - f^{n} \left( x_{1} \right) }{ \delta_{1} }} \right|
\\ \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) \right|
\end{align*}
λ ≈ = ≈ n 1 ln δ 1 δ n n 1 ln δ 1 f n ( x 1 + δ 1 ) − f n ( x 1 ) n 1 ln ( f n ) ′ ( x 1 ) ( f n ) ′ ( x 1 ) \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) ( f n ) ′ ( x 1 ) 체인룰 에 따라
( f n ) ′ ( x 1 ) = [ f ( f n − 1 ) ( x 1 ) ] ′ = ( f n − 1 ) ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( f n − 1 ( x 1 ) ) = ( f n − 1 ) ′ ( x 1 ) f ′ ( x n ) = ( f n − 2 ) ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( f n − 2 ( x 1 ) ) f ′ ( x n ) = ( f n − 2 ) ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( x n − 1 ) f ′ ( x n ) ⋮ = ∏ k = 1 n f ′ ( x k )
\begin{align*}
\left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) =& \left[ f \left( f^{n-1} \right) \left( x_{1} \right) \right] '
\\ =& \left( f^{n-1} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( f^{n-1} \left( x_{1} \right) \right)
\\ =& \left( f^{n-1} \right) ' \left( x_{1} \right) f ' \left( x_{n} \right)
\\ =& \left( f^{n-2} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( f^{n-2} \left( x_{1} \right) \right) f ' \left( x_{n} \right)
\\ =& \left( f^{n-2} \right) ' \left( x_{1} \right) \cdot f ' \left( x_{n-1} \right) f ' \left( x_{n} \right)
\\ & \vdots
\\ =& \prod_{k=1}^{n} f ' \left( x_{k} \right)
\end{align*}
( f n ) ′ ( x 1 ) = = = = = = [ f ( f n − 1 ) ( x 1 ) ] ′ ( f n − 1 ) ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( f n − 1 ( x 1 ) ) ( f n − 1 ) ′ ( x 1 ) f ′ ( x n ) ( f n − 2 ) ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( f n − 2 ( x 1 ) ) f ′ ( x n ) ( f n − 2 ) ′ ( x 1 ) ⋅ f ′ ( x n − 1 ) f ′ ( x n ) ⋮ k = 1 ∏ n f ′ ( x k ) λ ≈ 1 n ln ∣ ( f n ) ′ ( x 1 ) ∣ = 1 n ln ∣ ∏ k = 1 n f ′ ( x k ) ∣ = 1 n ∑ k = 1 n ln ∣ f ′ ( x k ) ∣
\begin{align*}
\lambda \approx& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \left( f^{n} \right) ' \left( x_{1} \right) \right|
\\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \ln \left| \prod_{k=1}^{n} f ' \left( x_{k} \right) \right|
\\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{k=1}^{n} \ln \left| f ' \left( x_{k} \right) \right|
\end{align*}
λ ≈ = = n 1 ln ( f n ) ′ ( x 1 ) n 1 ln k = 1 ∏ n f ′ ( x k ) n 1 k = 1 ∑ n ln ∣ f ′ ( x k ) ∣ n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N λ ≈ 1 n ∑ k = 1 n ln ∣ f ′ ( x k ) ∣ ≈ lim N → ∞ 1 N ∑ k = 1 N ln ∣ f ′ ( x k ) ∣ = h ( x 1 )
\lambda \approx {{1} \over {n}} \sum_{k=1}^{n} \ln | f ' (x_{k} ) | \approx
\lim_{N \to \infty} {{1} \over {N}} \sum_{k=1}^{N} \ln | f ' (x_{k} ) | = h \left( x_{1} \right)
λ ≈ n 1 k = 1 ∑ n ln ∣ f ′ ( x k ) ∣ ≈ N → ∞ lim N 1 k = 1 ∑ N ln ∣ f ′ ( x k ) ∣ = h ( x 1 )
카오스 이론 싱크와 소스 의 개념을 다시금 생각해보면 싱크란 가까운 곳의 점이 모여드는 일종의 ‘수렴점’, 소스란 가까웠던 점들이 점점 멀어지는 일종의 ‘발산점’이라고 볼 수 있다. 이것은 프리어딕 오빗에 대해서도 비슷하게 확장시킬 수 있었다.
오빗의 싱크와 소스 판정법 : > f f f k k k { p 1 , p 2 , ⋯ , p k } \left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\} { p 1 , p 2 , ⋯ , p k } ∣ f ′ ( p 1 ) ⋯ f ′ ( p k ) ∣ < 1 \left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| < 1 ∣ f ′ ( p 1 ) ⋯ f ′ ( p k ) ∣ < 1 { p 1 , p 2 , ⋯ , p k } \left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\} { p 1 , p 2 , ⋯ , p k } ∣ f ′ ( p 1 ) ⋯ f ′ ( p k ) ∣ > 1 \left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| > 1 ∣ f ′ ( p 1 ) ⋯ f ′ ( p k ) ∣ > 1 { p 1 , p 2 , ⋯ , p k } \left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\} { p 1 , p 2 , ⋯ , p k }
랴푸노프 수는 이러한 개념을 피리어딕한 오빗 이상으로 확장하기 위해 도입되었다고 볼 수 있다. 싱크가 안정적인 경향을 나타내고 소스가 요동치는 확산을 나타낸다고 보았을 때 미분계수의 무한곱들로 표현된 L ( x 1 ) L ( x_{1} ) L ( x 1 ) 1 1 1 x 1 x_{1} x 1 카오스이라는 개념을 정의 하거나, 아래의 정리를 준다.
정리 스무스한 맵 f : R → R f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ′ ( x i ) ≠ 0 f ' (x_{i} ) \ne 0 f ′ ( x i ) = 0 { x 1 , x 2 , ⋯ } \left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\} { x 1 , x 2 , ⋯ } k k k { y 1 , y 2 , ⋯ , y k , ⋯ } \left\{ y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{k} , \cdots \right\} { y 1 , y 2 , ⋯ , y k , ⋯ }
증명 Part 1. 수열의 평균은 원래 수열의 극한으로 수렴한다.
간단한 팩트로써, lim n → ∞ s n = s \displaystyle \lim_{n \to \infty} s_{n} = s n → ∞ lim s n = s m ∈ Z m \in \mathbb{Z} m ∈ Z lim n → ∞ s n + m = s \displaystyle \lim_{n \to \infty} s_{n+m} = s n → ∞ lim s n + m = s
그러면 그 평균 역시 s s s lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n s i = s \displaystyle \lim_{n \to \infty} {{1} \over {n}} \sum_{i=1}^{n} s_{i} = s n → ∞ lim n 1 i = 1 ∑ n s i = s
Part 2.
k = 1 k=1 k = 1 y 1 y_{1} y 1 f f f lim n → ∞ x n = y 1 \displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_{n} = y_{1} n → ∞ lim x n = y 1 f f f
lim n → ∞ f ′ ( x n ) = f ′ ( lim n → ∞ x n ) = f ′ ( y 1 )
\lim_{n \to \infty } f ' (x_{n}) = f ' \left( \lim_{n \to \infty} x_{n} \right) = f ' ( y_{1} )
n → ∞ lim f ′ ( x n ) = f ′ ( n → ∞ lim x n ) = f ′ ( y 1 )
한편 ln ∣ ⋅ ∣ \ln | \cdot | ln ∣ ⋅ ∣
lim n → ∞ ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ = ln ∣ lim n → ∞ f ′ ( x n ) ∣ = ln ∣ f ′ ( y 1 ) ∣
\lim_{n \to \infty } \ln | f ' (x_{n}) | = \ln \left| \lim_{n \to \infty} f ' ( x_{n} ) \right| = \ln | f ' ( y_{1} ) |
n → ∞ lim ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ = ln n → ∞ lim f ′ ( x n ) = ln ∣ f ′ ( y 1 ) ∣
따라서 Part 1.에 의해
h ( x 1 ) = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ = lim n → ∞ ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ = 1 1 ln ∣ f ′ ( y 1 ) ∣ = h ( y 1 )
\begin{align*}
h ( x_{1} ) =& \lim_{n \to \infty } {{1} \over {n} } \sum_{i=1}^{n} \ln | f ' (x_{n}) |
\\ =& \lim_{n \to \infty } \ln | f ' (x_{n}) |
\\ =& {{1} \over {1}} \ln | f ' (y_{1} ) |
\\ =& h (y_{1} )
\end{align*}
h ( x 1 ) = = = = n → ∞ lim n 1 i = 1 ∑ n ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ n → ∞ lim ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ 1 1 ln ∣ f ′ ( y 1 ) ∣ h ( y 1 )
Part 3.
f f f x 1 x_{1} x 1 L : = lim n → ∞ ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) 1 / n \displaystyle L := \lim_{ n \to \infty } \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)^{1/n} L := n → ∞ lim ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) 1/ n 체인 룰 에 의해 i = 1 , ⋯ , k i = 1, \cdots , k i = 1 , ⋯ , k ( f k ) ′ ( x i ) = f ′ ( x 1 ) ⋯ f ′ ( x k ) ( f^{k} )' ( x_{i} ) = f ' ( x_{1} ) \cdots f ' ( x_{k} ) ( f k ) ′ ( x i ) = f ′ ( x 1 ) ⋯ f ′ ( x k ) f k f^{k} f k x 1 x_{1} x 1
lim n → ∞ ( ∣ ( f k ) ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ ( f k ) ’ ( x n ) ∣ ) 1 / n = lim n → ∞ ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) k / n = L k
\begin{align*}
& \lim_{ n \to \infty } \left( \left| (f^{k})' ( x_{1} ) \right| \cdots \left| (f^{k}) ’ ( x_{n} ) \right| \right)^{1/n}
\\ =& \lim_{ n \to \infty } \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)^{k/n}
\\ =& L^{k}
\end{align*}
= = n → ∞ lim ( ( f k ) ′ ( x 1 ) ⋯ ( f k ) ’ ( x n ) ) 1/ n n → ∞ lim ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) k / n L k
계산과정을 보면 자연스럽게 역도 성립하고, f f f x 1 x_{1} x 1 h = f k h = f^{k} h = f k x 1 x_{1} x 1 k h kh kh
Part 4.
k > 1 k > 1 k > 1 y 1 y_{1} y 1 f k f^{k} f k { x 1 , x 2 , ⋯ } \left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\} { x 1 , x 2 , ⋯ } { y 1 , y 2 , ⋯ , y k , ⋯ } \left\{ y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{k}, \cdots \right\} { y 1 , y 2 , ⋯ , y k , ⋯ }
h ( x 1 ) = lim n → ∞ 1 n ( ln ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ + ⋯ + ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) = lim n → ∞ 1 n ln ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) = lim n → ∞ 1 k ⋅ n ln ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ k ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ k ) = 1 k lim n → ∞ ln ( ∣ ( f k ) ’ ( x n ) ∣ ) = 1 k ln ∣ ( f k ) ′ ( y 1 ) ∣
\begin{align*}
h(x_{1} ) =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {n}} \left( \ln | f ' ( x_{1} ) | + \cdots + \ln | f ' ( x_{n} ) | \right)
\\ =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {n}} \ln \left( | f ' ( x_{1} ) | \cdots | f ' ( x_{n} ) | \right)
\\ =& \lim_{ n \to \infty } {{1} \over {k \cdot n}} \ln \left( | f ' ( x_{1} ) |^{k} \cdots | f ' ( x_{n} ) |^{k} \right)
\\ =& {{1} \over {k}} \lim_{ n \to \infty } \ln \left( | (f^{k} ) ’ ( x_{n} ) | \right) = {{1} \over {k}} \ln \left| ( f^{k} )' ( y_{1} ) \right|
\end{align*}
h ( x 1 ) = = = = n → ∞ lim n 1 ( ln ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ + ⋯ + ln ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) n → ∞ lim n 1 ln ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ ) n → ∞ lim k ⋅ n 1 ln ( ∣ f ′ ( x 1 ) ∣ k ⋯ ∣ f ′ ( x n ) ∣ k ) k 1 n → ∞ lim ln ( ∣ ( f k ) ’ ( x n ) ∣ ) = k 1 ln ( f k ) ′ ( y 1 )
Part 2.에 의해 f k f^{k} f k x 1 x_{1} x 1
ln ∣ ( f k ) ′ ( y 1 ) ∣
\ln \left| (f^{k})' (y_{1}) \right|
ln ( f k ) ′ ( y 1 )
Part 3.에 의해 f f f x 1 x_{1} x 1
h ( x 1 ) = 1 k ln ∣ ( f k ) ′ ( y 1 ) ∣ = h ( y 1 )
h( x_{1} ) = {{1} \over {k}} \ln \left| ( f^{k} )' ( y_{1} ) \right| = h ( y_{1} )
h ( x 1 ) = k 1 ln ( f k ) ′ ( y 1 ) = h ( y 1 )
■
같이보기 