📂동역학

맵 시스템의 오빗

정의¹

맵 $f : X \to X$ 와 $p \in X$ 에 대해 $f^{k} (p) = p$ 를 만족하는 가장 작은 자연수가 $k \in \mathbb{N}$ 라고 하자.

1. 맵 $f : X \to X$ 와 점 $x \in X$ 에 대해 집합 $\left\{ x , f(x) , f^{2} , \cdots \right\}$ 를 $f$ 하에서 $x$ 의 오빗^orbit이라 한다. 이 때 $x$ 를 오빗의 초기값^{initial value}이라 한다.
2. 초기값 $p$ 를 가지는 오빗 $\left\{ p , f (p) , f^{2} (p) , \cdots \right\}$ 을 피리어딕-$k$ 오빗이라 하고, $p$ 를 피리어딕-$k$ 포인트라 한다.
3. $p$ 가 $f^{k}$ 의 싱크면 $p$ 의 피리어딕-$k$ 오빗이 (피리어딕) 싱크라 하고, $f^{k}$ 의 소스면 $p$ 의 피리어딕-$k$ 오빗이 (피리어딕) 소스라 한다.
4. 어떤 $N \in \mathbb{N}$ 과 모든 $n \ge N$ 에 대해 $f^{n+k} (p) = f^{n} (p)$ 을 만족하면 $p$ 가 이벤츄얼리 피리어딕^{eventually periodic}하다고 한다.
5. 오빗 $\left\{ p , f (p) , f^{2} (p) , \cdots , f^{n} (p) , \cdots \right\}$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} | f^{n} (p) - x_{n} | = 0$ 을 만족하는 피리어딕 오빗 $\left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$ 이 존재하면 $\left\{ p , f (p) , f^{2} (p) , \cdots , f^{n} (p) , \cdots \right\}$ 이 어심토티컬리 피리어딕^{asymtotically periodic}하다고 한다.

설명

피리어딕-$k$ 오빗이 존재한다는 말은 본질적으로 $f^{k}$ 이 고정점을 갖는 것과 같다. 따라서 주기를 갖는 것이나 고정점을 갖는 것은 맵을 몇번 취하는 것의 차이에 불과하게 된다. 따라서 개념적인 공부가 끝난 이후에는 모든 정리와 상위 개념들이 고정점을 기준으로 그 표현을 맞추게 된다. ‘주기’란 자연수에 대해 일반화된 ‘고정점’이라고 생각하도록 하자.

어심토티컬리 피리어딕하면서 정확히 그 $\left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$ 와 같아지면 그것을 이벤츄얼리 피리어딕이라고 할 수도 있다. 또한 피리어릭 싱크 오빗으로 수렴하는 오빗은 어심토티컬리 피리어딕이다.

한편 $X = \mathbb{R}$ 의 경우 다음과 같은 간단한 정리 하나를 생각해볼 수 있다.

정리²

$f$ 의 피리어딕-$k$ 오빗을 $\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$ 라고 하자.

$\left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| < 1$ 이면 $\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$ 은 싱크고, $\left| f '(p_{1}) \cdots f '(p_{k}) \right| > 1$ 이면 $\left\{ p_{1} , p_{2} , \cdots , p_{k} \right\}$ 은 소스다.

증명

체인 룰에 의해

$$\begin{align*} ( f^{k} )' ( p_{1} ) =& \left( f \left( f^{k-1} \right) \right)' ( p_{1} ) \\ =& f ' \left( \left( f^{k-1} \right) \right) \left( f^{k-1} \right)' ( p_{1} ) \\ =& f ' \left( \left( f^{k-1} \right) \right) f ' \left( \left( f^{k-2} \right) \right) \cdots f ' ( p_{1} ) \\ =& f ' ( p_{k} ) f ' ( p_{k-1} ) \cdots f ' ( p_{1} ) \end{align*}$$

스무스한 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 에 대해 어떤 $p \in \mathbb{R}$ 가 고정점이라고 하자.

[1] $| f ' (p) | < 1$ 이면 $p$ 는 싱크다.

[2] $| f ' (p) | > 1$ 이면 $p$ 는 소스다.

$| ( f^{k} )' ( p_{1} ) | = | f ' ( p_{k} ) f ' ( p_{k-1} ) \cdots f ' ( p_{1} ) |$ 에 1차원 맵의 싱크와 소스 판정법을 적용시키면 원하는 결과를 얻는다.

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