단조함수, 증가함수, 감소함수
정의
함수 $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$가 주어졌다고 하자. $x_{1}$, $x_{2}$ $\in [a,b]$에 대해서
$$ x_{1} \lt x_{2} \ \implies f(x_{1}) \le f(x_{2}) $$
를 만족하면 $f$가 단조롭게 증가monotonically increasing한다고 말하거나, $f$를 단조증가함수monotone increasing function라 부른다. 반대로
$$ x_{1} \lt x_{2} \ \implies f(x_{1}) \ge f(x_{2}) $$
를 만족하면 $f$가 단조롭게 감소monotonically decreasing한다고 말하거나, $f$를 단조감소함수monotone decreasing function라 부른다.
$f$가 단조증가함수이거나 단조감소함수이면 $f$를 단조함수monotone라 부른다.
설명
단조롭게 증가한다는 말은 변수가 커질수록 함숫값이 적어도 감소하지는 않는다는 것을 의미한다. 반대로 단조롭게 감소한다는 말은 적어도 증가하지는 않는다는 것을 의미한다.
정의
아래의 식
$$ x_{1} \lt x_{2} \implies f(x_{1}) \lt f(x_{2}) $$
를 만족하는 $f$를 증가함수strictly increasing function라고 한다. 반대로
$$ x_{1} \lt x_{2} \implies f(x_{1}) \gt f(x_{2}) $$
를 만족하는 $f$를 감소함수strictly increasing function라고 한다.