📂전자기학

전기장의 컬(회전)

정리

전기장의 컬(회전)은 항상 $\mathbf{0}$이다.

$$ \nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0} $$

증명¹

점전하가 원점에 있는 특별한 경우의 결과로부터 일반적인 결과를 이끌어낼 것이다. 원점으로부터 거리가 $r$인 곳에서 점점하에 의한 전기장은 아래와 같다.

$$ \mathbf{E}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \dfrac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} $$

전기장을 점 $\mathbf{a}$에서부터 점 $\mathbf{b}$까지 구좌표계에 대해서 경로 적분하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \int_\mathbf{a} ^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} =&\ \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \left( \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \right) \cdot \left( dr \hat{\mathbf{r}} + rd\theta\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\sin\theta d\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} \right) \\ =&\ \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q}{r^2}dr \\ =&\ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \dfrac{1}{r^2} dr = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ -\dfrac{1}{r} \right]_{r_{a}}^{r_{b}} \\ =&\ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \dfrac{1}{r_{a}}-\dfrac{1}{r_{b}} \right) \end{align*} $$

여기서 $r_{a}$, $r_{b}$는 원점에서부터 점 $\mathbf{a}$, 점 $\mathbf{b}$까지의 거리다. 위의 적분 결과를 보면 알 수 있듯이 닫힌 경로에 대한 적분은 $0$이다.

$$ \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} = 0 $$

스토크스 정리

$$ \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla \times \mathbf{v} \right) \cdot d\mathbf{a} = \oint _{\mathcal{P} }\mathbf{v} \cdot d \mathbf{l} $$

스토크스 정리를 사용하면

$$ \int \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) \cdot d\mathbf{a} =\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}=0 $$

이므로 $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$임을 알 수 있다. 어떤 임의의 면적에 대한 적분이라도 결과가 $\mathbf{0}$이 나와야하므로 $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$일 수 밖에 없다.

여러 점전하에 대한 전기장은 각각의 점전하에 대한 전기장을 더해주는 것과 같다. 연속적으로 분포한 전하에 대해서는 $\sum$을 $\int$로 바꿔주기만 하면 된다. 따라서 $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1} + \mathbf{E}_2+\mathbf{3}+\cdots$이고 각각의 전기장에 대한 컬이 $\mathbf{0}$이므로 그 합도 당연히 $\mathbf{0}$이다.

$$ \begin{align*} \nabla \times \mathbf{E} =&\ \nabla \times (\mathbf{E}_{1} + \mathbf{E}_2+\mathbf{3}+\cdots ) \\ =&\ (\nabla \times \mathbf{E}_{1}) +(\nabla \times \mathbf{E}_2 )+(\nabla \times \mathbf{E}_{3})+\cdots \\ =&\ \mathbf{0} \end{align*} $$

■