logo

체의 자기동형사상 📂추상대수

체의 자기동형사상

정의 1

EE 가 FF 의 확대체라고 하자.

  1. 체 EE 에 대해 동형사상 σ:E→E\sigma : E \to E 을 자기동형사상automorphism이라 하고, EE 의 자기동형사상의 집합을 Auto(E)\text{Auto} (E) 와 같이 나타낸다.
  2. σ∈Auto(E)\sigma \in \text{Auto} (E) 에 대해 σ(a)=a\sigma ( a ) = a 면 σ\sigma 가 고정된 aa 를 남긴다고 한다.
  3. S⊂Auto(E)S \subset \text{Auto} (E) 라고 하자. 모든 a∈Fa \in F 에 대해 모든 σ∈S\sigma \in S 가 고정된 aa 를 남기면 SS 가 고정된 부분체 FF 를 남긴다고 한다.
  4. {σ}⊂Auto(E)\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E) 가 고정된 FF 를 남기면 σ\sigma 가 고정된 FF 를 남긴다고 한다.
  5. {σ}⊂Auto(E)\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E) 가 고정된 체 E{σ}E_{ \left\{ \sigma \right\} } 를 남기면 σ\sigma 가 고정된 체 EσE_{\sigma} 를 남긴다고 한다.
  6. FF 를 남기는 EE 의 모든 자기동형사상의 집합을 G(E/F)G ( E / F ) 와 같이 나타내고 FF 상에서 EE 의 군이라 한다.

정리

  • [1]: <Auto(E),∘>\left< \text{Auto} ( E ) , \circ \right> 은 군이다.
  • [2]: G(E/F)≤Auto(E)G ( E / F) \le \text{Auto} ( E )

예시

말이 몹시 어렵고 복잡해서 그보다는 예시를 통해 개념적으로 이해하는 편이 낫다.

F=Q(2)≤Q(2,3)=E F = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) \le \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = E 이라고 하면 (x2−3)∈F[x](x^2 - 3) \in F [ x ] 는 FF 상에서 기약원이므로 3,−3\sqrt{3} , \sqrt{-3} 은 EE 상에서 켤레다. 켤레 동형사상 정리에 의해 ψ3,−3:E→E\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } : E \to E 는 동형사상이고, 따라서 ψ3,−3∈Auto(E) \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } \in \text{Auto} (E) 임을 알 수 있다.

실제로 함수 ψ3,−3\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } 를 취해보자. a,b,c,d∈Qa,b,c,d \in \mathbb{Q} 에 대해 ψ3,−3(a+b2+c3+d6)=a+b2−c3−c23 \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( a+ b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} ) = a+ b \sqrt{2} - c \sqrt{3} - c \sqrt{2} \sqrt{3} 인데, 모든 (x+y2)∈Q(2)( x + y \sqrt{2} ) \in \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) 에 대해서는

ψ3,−3(x+y2)=x+y2 \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( x + y \sqrt{2} ) = x + y \sqrt{2} 이므로 ψ3,−3\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } 는 고정된 Q(2)\mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) 를 남긴다고 할 수 있다. 쉽게 말해 Q(2)\mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) 는 ψ3,−3\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } 에 영향을 받지 않는 부분체라고 볼 수 있다. 이런 센스에서 ‘고정’이라든가 ‘남긴다’라는 표을 사용하는 것이다.

한편 항등사상 II 와 함수의 합성연산 ∘\circ 에 대해 (ψα,−α∘ψα,−α)=I \left( \psi_{ \alpha , - \alpha } \circ \psi_{ \alpha , - \alpha } \right) = I 이므로 <{I,ψ2,−2,ψ3,−3,(ψ2,−2∘ψ3,−3)},∘> \left< \left\{ I, \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} }, \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } , ( \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} } \circ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ) \right\} , \circ \right> 은 군을 이룰뿐만 아니라 특히 클라인 사원군과 동형이 된다.

증명

[1]

  • (i): 함수의 합성 ∘\circ 은 결합법칙을 만족하고, Auto(E)\text{Auto} ( E ) 의 함수끼리 합성하면 EE 의 자기동형사상이다.
  • (ii): 항등사상 I:E→EI : E \to E 는 모든 a∈Ea \in E 에 대해 I(a)=aI (a) = a 이므로 자기동형사상이고, I∈Auto(E)I \in \text{Auto} ( E ) 이다.
  • (iii): Auto(E)\text{Auto} ( E ) 은 자기동형사상의 집합이므로 임의의 σ\sigma 에 대해 그 역사상 σ−1∈Auto(E)\sigma^{-1} \in \text{Auto} ( E ) 가 존재한다.

■

[2]

  • (i): 함수의 합성 ∘\circ 은 결합법칙을 만족하고, σ,τ∈G(E/F)\sigma , \tau \in G ( E / F ) 와 a∈Fa \in F 에 대해 (στ)=σ(τ(a))=σ(a)=a (\sigma \tau) = \sigma ( \tau ( a ) ) = \sigma (a) = a 이므로 (στ)∈G(E/F)(\sigma \tau) \in G ( E / F ) 이다.
  • (ii): 항등사상 II 은 G(E/F) G ( E / F ) 의 항등원이 된다.
  • (iii): σ(a)=a\sigma ( a ) = a 면 a=σ−1(a)a = \sigma^{-1} (a) 이므로 σ−1∈G(E/F)\sigma^{-1} \in G ( E / F ) 이다.

■

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p418. ↩︎