📂전자기학

전기장의 다이벌전스(발산)

공식¹

부피전하밀도가 $\rho$인 부피전하가 만드는 전기장 $\mathbf{E}$의 다이벌전스는 다음과 같다.

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho ( \mathbf{r} )$$

설명

전기장의 다이벌전스는 가우스 법칙의 미분꼴이라 불리기도 한다. 양변을 적분하면 가우스 법칙의 적분꼴을 얻는다.

증명

부피전하가 만드는 전기장

$$\mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{\rho (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR^2} \crH d\tau^{\prime}$$

이때 $\bcR=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$은 분리벡터이다. 분리벡터의 다이벌전스은 $\nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^2}\crH \right) = 4\pi \delta^3(\bcR)$이므로 전기장의 다이벌전스를 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{E} =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \nabla \cdot \left( \dfrac{ \hat {\boldsymbol {\cR}} } { \cR ^2} \right) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int 4\pi \delta ^3 (\bcR ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} 4\pi \int\delta ^3 (\boldsymbol{\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}} ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int \delta ^3 (\boldsymbol{\mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r}} ) \rho ( \mathbf{r}^{\prime} ) d\tau^{\prime} \\ =&\ \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho (\mathbf{r} ) \end {align*}$$

이때 $\delta$는 디랙 델타 함수이다. 양변에 적분을 취하면 다음과 같다.

$$\int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d\tau = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \rho (\mathbf{r})d\tau =\dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\text{in}}$$

$\rho$가 부피전하밀도이므로 전 영역에 대해 적분에하면 부피 속에 들어있는 전체 전하량$Q_{\text{in}}$이다. 그리고 알다시피 이는 가우스 정리의 적분꼴 이다.

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