📂전자기학

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙¹

고정된 점전하 $q$로부터 거리가 $\cR$만큼 떨어진 시험전하 $Q$가 받는 힘을 쿨롱 힘이라 하고 수식은 다음과 같다.

$$\mathbf{F} = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \dfrac{qQ}{\cR ^2} \crH$$

이를 쿨롱 법칙^{Coulomb’s law}이라 한다.

설명

쿨롱 법칙은 반복된 실험을 통해 얻어낸 실험 법칙이다. 따라서 수학적으로 증명할 수는 없다. 마치 수학에서 공리와 같다고 생각하면 이해가 쉬울 것이다. $\epsilon_{0}$는 진공에서의 유전율^{permittivity of free space}이며 그 값은 $8.85 \times 10^{-12} \dfrac{\mathrm C^2}{\mathrm N \cdot \mathrm m^2}$ 이다. 한편, 글 상단의 공식은 국제단위계^{systeme international, SI}로 표기한 것이다. 가우스 단위계^{Gaussian system}로 나타내면 아래와 같다.

$$\mathbf{F} = \dfrac{qQ}{\cR ^2} \crH$$

이는 국제단위계에서 앞의 비례상수를 $1$로 치환한 것이다. $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \equiv 1$이라는 말이다. 즉, 국제단위계를 가우스단위계로 쉽게 바꾸는 방법은 $\epsilon_{0}$를 $\dfrac{1}{4\pi}$로 치환하면 된다.

전기장

점전하 분포

이제 시험전하 $Q$ 주위에 여러 점전하가 있다고 생각해보자. 그러면 $Q$가 받는 힘은 간단하게도 각각의 점전하로부터 받는 힘을 선형적으로 더해주기만 하면 된다. 즉 $Q$와 $q_{1}$이 상호작용 하는 것은 $q_{2}, q_{3}, \dots$에 영향을 받지 않는다는 의미이다. 이를 중첩 원리^{superposition principle}라 한다.

$$\begin{align*} \mathbf{F} &= F_{1}+F_{2}+\cdots + F_{n} \\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{1}Q}{{\cR_{1}}^2}\crH_{1} +\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{2}Q}{{\cR_{2}}^2}\crH_{2}+\cdots +\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{n}Q}{{\cR_{n}}^2}\crH_{n} \\ &= Q\left( \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{1}}{{\cR_{1}}^2}\crH_{1} +\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{2}}{{\cR_{2}}^2}\crH_{2}+\cdots +\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{q_{n}}{{\cR_{n}}^2}\crH_{n} \right) \\ &= Q\mathbf{E} \end{align*}$$

여기서 괄호로 묶인 부분을 원천전하 $q_{1},\ q_{2},\ \cdots ,\ q_{n}$들이 만드는 전기장^{electirc field}이라 정의하고, $\mathbf{E}$라고 표기한다.

$$\mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \sum \limits_{i=1}^n \dfrac{q_{i}}{{\cR_{i}}^2}\crH_{i}$$

연속 전하분포

전하가 연속적으로 분포할 때는 합 대신 적분으로 나타낸다.

$$\sum \rightarrow \int \\ \mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \dfrac{1}{\cR^2}\crH dq$$

선전하일 경우 $dq=\lambda dl^{\prime}$. 이 때 $\lambda$는 선전하밀도이다. 선전하가 만드는 전기장은 아래와 같다.

$$\mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{P} \dfrac{\lambda (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR^2} \crH dl^{\prime}$$

면전하일 경우 $dq=\sigma da^{\prime}$. 이 때 $\sigma$는 면전하밀도이다. 면전하가 만드는 전기장은 아래와 같다.

$$\mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{S} \dfrac{\sigma (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR^2} \crH da^{\prime}$$

부피전하일 경우 $dq=\rho d\tau^{\prime}$. 이 때 $\rho$는 부피전하밀도이다. 부피전하가 만드는 전기장은 아래와 같다.

$$\mathbf{E}(\mathbf {r}) =\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{\rho (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR^2} \crH d\tau^{\prime}$$