리만(-스틸체스) 적분가능할 필요충분조건
해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha (x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.
정리1
함수 $f$가 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분가능할 필요충분조건은 모든 $\epsilon >0$에 대하여 $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$을 만족시키는 $[a,b]$의 분할 $P$가 존재하는 것이다.
$$ \begin{equation} f \in \mathscr{R} (\alpha) \text{ on } [a,b] \\ \iff \forall\epsilon >0, \exists P\text{ s.t. } U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon \end{equation} $$
적분가능함을 보일 때 실질적으로 쓰게되는 조건이다.
증명
증명에 앞서 다음과 같이 주어졌다고 하자.
$(\implies)$
$f$가 리만(-스틸체스) 적분가능한 함수라고 가정하자. $\epsilon > 0$가 주어졌다고 하자. 그러면 하적분과 적분의 정의에 의해서, 모든 분할 $P$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ L(P,f,\alpha) \le \underline{\int _{a}^{b}} f d\alpha = \int _{a} ^{b} f d\alpha $$
따라서 다음을 만족하는 분할 $P_{1}$이 존재한다.
$$ \begin{equation} \int _{a} ^{b} f d\alpha - L(P_{1},f,\alpha) < \frac{\epsilon}{2} \end{equation} $$
마찬가지로 다음이 성립한다.
$$ \int _{a} ^{b} f d\alpha = \overline {\int _{a} ^{b}} f d\alpha \le U(P,f,\alpha) $$
따라서 다음을 만족하는 분할 $P_{2}$가 존재한다.
$$ \begin{equation} U(P_2,f,\alpha) - \int _{a}^{b} f d\alpha < \frac{\epsilon}{2} \end{equation} $$
이제 $P^{\ast}$를 $P_{1}$, $P_{2}$의 공통세분이라고 하자. 그러면 세분의 상합(하합)은 분할보다 더 작으므로(크므로), $(2)$, $(3)$에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P_2,f,\alpha) \\ &\lt {\color{blue}\int _{a} ^{b} f d\alpha} + \frac{\epsilon}{2} \\ &\lt {\color{blue} L(P_{1},f,\alpha) + \frac{\epsilon}{2} } + \frac{\epsilon}{2} \\ &= L(P_{1},f,\alpha) + \epsilon \\ &\le L(P^{\ast},f,\alpha) + \epsilon \end{align*} $$
따라서 $U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f,\alpha) < \epsilon$을 만족하는 분할 $P^{\ast}$가 존재한다.
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$(\impliedby)$
모든 $\epsilon >0$에 대하여 $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$을 만족시키는 $[a,b]$의 분할 $P$가 존재한다고 가정하자. 상적분, 하적분의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.
$$ L(P,f,\alpha) \le \underline {\int _{a} ^{b}} f d\alpha \le \overline{ \int _{a} ^{b}}f d\alpha \le U(P,f,\alpha) $$
이때 $A<B<C<D$이면 $C-B<D-A$이므로 가정과 위의 식을 이용하면 다음과 같은 식을 얻는다.
$$ 0 \le \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha -\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha < \epsilon $$
모든 양수 $\epsilon$에 대해서 위 식이 만족하려면 다음이 성립해야한다.
$$ \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha -\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha=0 $$
따라서 다음이 성립하고 이는 $f$가 적분가능하다는 정의이므로 $f$는 적분 가능하다.
$$ \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha =\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha $$
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따름정리2
(a) 만약 어떤 분할 $P$와 $\varepsilon >0$에 대해서 $(1)$이 성립하면, $P$의 모든 세분에 대해서도 $(1)$이 성립한다.
(b) 분할 $P=\left\{ x_{0},\cdots,x_{n} \right\}$에 대해서 $(1)$이 성립하고 $s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{n}]$이라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립한다. $$ \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i}) -f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} <\varepsilon $$
(c) 만약 $f$가 적분가능하고 (b) 의 가정이 성립한다고 하자. 그러면 아래의 식이성립한다. $$ \left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha (x) \right| < \varepsilon $$
증명
(a)
$P^{\ast}$를 $P$의 세분이라고 하자. 그러면 세분의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$ U(P^{\ast},f,\alpha) -L(P^{\ast},f,\alpha)<U(P,f,\alpha) -L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$
따라서 (a) 가 성립한다.
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(b)
$x\in[x_{i-1},x_{i}]$에 대해서 다음과 같이 두자.
$$ M_{i}=\sup f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf f(x) $$
그러면 모든 $s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| < M_{i}-m_{i},\quad i=1,\cdots,n $$
따라서 상합, 하합의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} &< \sum \limits _{i=1} ^{n}(M_{i}-m_{i})\Delta \alpha_{i} \\ &=U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*} $$
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(c)
위 증명에서 썼던 표기법을 계속 사용하자. 상합, 하합의 정의에 의해 아래의 식이 성립함은 자명하다.
$$ L(P,f,\alpha) \le \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} \le U(P,f,\alpha) $$
또한 적분의 정의에 의해 아래의 식도 자명하게 성립한다.
$$ L(P,f,\alpha) \le \int _{a} ^{b} f(x)d\alpha (x) \le U(P,f,\alpha) $$
따라서 위의 두 식에 의해 다음이 성립한다.
$$ \left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha (x) \right| < \varepsilon $$
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