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세분 📂해석개론

세분

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. α=α(x)=x\alpha=\alpha (x)=x로 두면 리만적분과 같다.

정의

  • P∗P^{\ast}, PP가 [a,b][a,b]의 분할이고 P⊆P∗P \subseteq P^{\ast}을 만족하면 P∗P^{\ast}를 PP의 세분refinement이라고 한다. 따라서 PP의 모든 점은 P∗P^{\ast}의 점이다.

  • 임의의 두 분할 P1P_{1}, P2P_{2}에 대해 P3=P1∪P2P_{3}=P_{1} \cup P_{2}를 를 P1P_{1}과 P2P_{2}의 공통 세분이라 한다.

고등학교에서 적분을 정의할 때 주어진 그래프를 nn등분하고, nn이 무한대로 가는 극한 을 취했던 것을 생각해보면 세분의 역할이 쉽게 와닿을 것이다.

정리

P∗P^{\ast}를 PP의 세분이라고 하자. 그러면 아래의 두 식이 성립한다.

L(P,f,α)≤L(P∗,f,α)U(P∗,f,α)≤U(P,f,α) \begin{align} L(P,f,\alpha) &\le L(P^{\ast},f,\alpha) \label{eq1} \\ U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P,f,\alpha) \label{eq2} \end{align}

이때 LL, UU는 각각 리만(-스틸체스) 상합, 하합이다.

즉, 분할이 세분화 될 수록 하합은 커지고 상합은 작아진다는 얘기다.

증명

증명에 앞서 다음과 같이 주어졌다고 하자.

  • f:[a,b]→Rf : [a,b] \to \mathbb{R}가 유계이다.
  • α:[a,b]→R\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}는 단조증가함수이다.
  • PP를 [a,b][a,b]의 분할이라고 하자.

P∗P^{\ast}를 PP보다 딱 한 점 더 많은 세분이라고 하자. 그리고 그 점을 x∗x^{\ast}라고 하고 어떤 i=1,⋯ ,ni=1,\cdots ,n에 대해서 xi−1<x∗<xix_{i-1} < x^{\ast} < x_{i}이라고 하자.

(eq1)\eqref{eq1}

PP에 대한 리만(-스틸체스) 하합은 다음과 같다.

L(P,f,α)=∑i=1nmiΔαi=m1Δα1+⋯+mi[α(xi)−α(xi−1)]+⋯+mnΔαn=m1Δα1+⋯+mi[α(xi)−α(x∗)]+mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+mnΔαn \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n m_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*}

그리고 아래와 같이 두자.

w1=inf⁡f(x)(xi−1≤x≤x∗)w2=inf⁡f(x)(x∗≤x≤xi) \begin{align*} w_{1} &= \inf f(x) &(x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ w_2&= \inf f(x) &(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*}

그러면 mi=inf⁡f(x)  (xi−1≤x≤xi)m_{i}=\inf f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})이므로 다음이 성립한다.

mi≤w1andmi≤w2 m_{i} \le w_{1} \quad \text{and} \quad m_{i} \le w_2

따라서 다음을 얻는다.

mi[α(xi)−α(x∗)]+mi[α(x∗)−α(xi−1)]≤w2[α(xi)−α(x∗)]+w1[α(x∗)−α(xi−1)]=w1[α(x∗)−α(xi−1)]+w2[α(xi)−α(x∗)] \begin{align*} m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] &\le w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*}

그러므로 다음이 성립한다.

L(P,f,α)=m1Δα1+⋯+mi[α(xi)−α(x∗)]+mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+mnΔαn≤w1Δα1+⋯+w1[α(x∗)−α(xi−1)]+w2[α(xi)−α(x∗)]+⋯+mnΔαn=L(P∗,f,α) \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\le w_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= L(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*}

■

(eq2)\eqref{eq2}

(eq1)\eqref{eq1}과 같은 방법으로 증명한다. PP에 대한 리만(-스틸체스) 상합은 다음과 같다.

U(P,f,α)=∑i=1nMiΔαi=M1Δα1+⋯+Mi[α(xi)−α(xi−1)]+⋯+MnΔαn=M1Δα1+⋯+Mi[α(xi)−α(x∗)]+Mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+MnΔαn \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*}

그리고 아래와 같이 두자.

W1=sup⁡f(x)(xi−1≤x≤x∗)W2=sup⁡f(x)(x∗≤x≤xi) \begin{align*} W_{1} &= \sup f(x)& (x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ W_2&= \sup f(x)&(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*} 그러면 Mi=sup⁡f(x)  (xi−1≤x≤xi)M_{i}=\sup f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})이므로 다음이 성립한다.

W1≤MiandW2≤Mi W_{1} \le M_{i} \quad \text{and} \quad W_2 \le M_{i}

따라서 다음을 얻는다.

Mi[α(xi)−α(x∗)]+Mi[α(x∗)−α(xi−1)]≥W2[α(xi)−α(x∗)]+W1[α(x∗)−α(xi−1)]=W1[α(x∗)−α(xi−1)]+W2[α(xi)−α(x∗)] \begin{align*} M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] & \ge W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*}

그러므로 다음이 성립한다.

U(P,f,α)=M1Δα1+⋯+Mi[α(xi)−α(x∗)]+Mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+MnΔαn≥W1Δα1+⋯+W1[α(x∗)−α(xi−1)]+W2[α(xi)−α(x∗)]+⋯+MnΔαn=U(P∗,f,α) \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\ge W_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= U(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*}

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