📂동역학

이상한 어트랙터

정의

혼돈 ¹

불변인 폐집합이 위상적으로 추이적이면 어트랙터라 한다. 컴팩트한 불변 집합이 초기조건에 민감하고 위상적으로 추이적이면 캐어릭하다고 한다. 캐어릭한 어트랙터를 이상한 어트랙터^{strange attractor}라 한다.

초기조건에 민감한 종속성 ²

거리공간 $\left( X, d \right)$ 에서 동역학계가 $\dot{x} = f(x)$ 와 같이 미분방정식으로 정의되어 있다고 하자. $$d ' \left( A , x \right) := \inf \left\{ d (a, x) : a \in A \right\}$$ 집합 $A$ 와 점 $x$ 사이의 거리 $d ' \left( A, x \right)$ 를 위와 같이 정의하자. 어트랙터 $A$ 란 다음과 같은 세가지 성질을 가지는 집합이다:

1. $A$ 는 불변 집합이다.
2. 만약 $x (0) \in U$ 면 $t \to \infty$ 일 때 $d ' \left( A , x(t) \right) \to 0$ 이 되게끔 하면서, $A$ 를 포함하는 개집합 $U$ 가 존재한다.
3. $A$ 의 진부분집합인 집합이면서 위의 두가지 조건을 만족하는 집합은 존재하지 않는다.

어트랙터가 초기조건에 민감한 종속성을 보이면 이상한 어트랙터라 한다.

호모클리닉 오빗 ³

시스템에서 주어진 시간 $t$ 에 대한 플로우를 $\phi_{t}$ 와 같이 나타내자. 닫힌 불변 집합 $A$ 가 모든 쌍 $(x, y) \in A$ 와 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\phi_{t_{k}} \left( x_{k-1} \right)$ 과 $x_{k-1}$ 사이의 거리가 $\varepsilon$ 보다 작아지게끔 하는 $$x = x_{0} , x_{1}, \cdots , x_{n} = y$$ 과 $t_{1} , \cdots t_{n} > 1$ 이 존재하면 $A$ 가 분해불가^{indecomposable}라 한다.

분해불가한 닫힌 불변 집합 $A$ 가 주어진 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $A$ 에서 $\varepsilon$ 만큼 떨어진 점까지 포함하는 개집합 $U$ 가 존재해서, 만약 $x \in U$ 이면 $x$ 의 오메가 리미트 셋 이 $A$ 에 포함되면 $A$ 를 어트랙터라 한다. 횡단하는 호모클리닉 오빗을 포함하는 어트랙터를 이상한 어트랙터라 한다.

프랙털 ⁴

시스템에서 주어진 시간 $t$ 에 대한 플로우를 $\phi_{t}$ 와 같이 나타내자. 불변 집합 $A$ 가 다음 두 가지 조건을 만족시키면 안정적^stable이라 한다:

1. 모든 충분히 작은 네이버후드 $U \supset A$ 에 대해, 모든 $x \in V$ 와 $t > 0$ 에 대해 $\phi_{t} (x) \in U$ 가 되게끔하는 네이버후드 $V \supset A$ 가 존재한다.
2. 모든 $x \in U_{0}$ 에 대해 $t \to \infty$ 일 때 $\phi_{t} (x) \to A$ 가 되게끔 하는 $A$ 의 네이버후드 $U_{0} \supset A$ 가 존재한다.

불변 프랙털 집합이 안정적이면 이상한 어트랙터라 한다.

미분가능성 ⁵

컴팩트한 집합의 네이버후드의 거의 모든 초기조건의 오메가 리미트 셋을 어트랙터라 한다. 유한집합이 아니고 조각마다 미분가능하지 않은 어트랙터를 이상한 어트랙터라 한다.

설명

한국어로는 야릇한 끌개라 순화되기도 한다.

이렇게 많은 정의를 소개하는 의도는, 그만큼 이상한 어트랙터라고 하는 것이 다양한 관점으로 볼 수 있고 명확한 하나의 합의를 이끌어내기 어려운 개념이라는 것을 말하기 위함이다.

간단한 직관으로만 말할 것 같으면 로렌츠 어트랙터라는 친숙한 예시가 있고, 카오스 이론이라는 맥락 하에서는 정의에서 반복해서 언급하듯 사실상 혼돈이라는 것과 거의 같은 것으로 본다.

그러나 셀소^Celso 등은 그들의 논문에서 캐어릭^chaotic이라는 것은 어트랙터의 다이내믹스를, 이상하다^starnge라는 것은 어트랙터의 기하적 구조를 가리키며⁵, 실제로 이상한 어트랙터는 프랙털이나 미분불가능성과도 밀접한 관계가 있다고 했다⁶. 해당 논문에서는 이상하지만 캐어릭하지 않은 어트랙터의 구체적인 예시를 통해 그 존재성을 보였고 이에 따르면 혼돈 내지 초기조건에 민감한 종속성만으로 이상한 어트랙터가 무엇이라 단언하기는 어려움이 있음을 납득할 수 있을 것이다.